设二次型 ((x)_(1),(x)_(2),... ,(x)_(n))=(x)^TAx, 其中 ^T=A, =(({x)_(1),(x)_(2),... ,(x)_(n))}^T,-|||-则f为正定二次型的充分必要条件是 ()-|||-(A)f的负惯性指数是0 (B)存在正交矩阵Q,使 ^TAQ=E-|||-(C)f的秩为n D)存在可逆矩阵C,使 =(C)^TC

步骤 1：理解正定二次型的定义
正定二次型 $f({x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n})={x}^{T}Ax$ 的定义是对于任意非零向量 $x$，有 $f(x) > 0$。其中 $A$ 是一个对称矩阵，即 ${A}^{T}=A$。

步骤 2：分析选项(A)
选项(A)说f的负惯性指数是0。负惯性指数是指矩阵A的负特征值的个数。如果负惯性指数为0，说明A的所有特征值都是非负的。但是，这并不足以保证所有特征值都是正的，因此不能保证f是正定的。所以选项(A)是必要条件，但不是充分条件。

步骤 3：分析选项(B)
选项(B)说存在正交矩阵Q，使 $Q'AQ=E$。如果存在这样的正交矩阵Q，那么A的特征值全为1，因为正交矩阵Q的逆等于其转置，即 $Q^{-1}=Q'$。但是，A正定时，其特征值虽大于零但未必全是1。所以选项(B)是充分条件，但不是必要条件。

步骤 4：分析选项(C)
选项(C)说f的秩为n。如果f的秩为n，说明A是满秩的，即A的行列式不为零。但是，这并不足以保证A的所有特征值都是正的，因此不能保证f是正定的。所以选项(C)是必要条件，但不是充分条件。

步骤 5：分析选项(D)
选项(D)说存在可逆矩阵C，使 $A={C}^{T}C$。如果存在这样的可逆矩阵C，那么A可以表示为一个可逆矩阵的转置乘以它本身，这保证了A的所有特征值都是正的，因此f是正定的。所以选项(D)是充分必要条件。