题目
(9)(x-2)(dy)/(dx)=y+2(x-2)^3;
(9)$(x-2)\frac{dy}{dx}=y+2(x-2)^{3}$;
题目解答
答案
将原方程改写为标准形式：
\[
\frac{dy}{dx} - \frac{y}{x-2} = 2(x-2)^2
\]
使用积分因子法，积分因子为：
\[
e^{\int -\frac{1}{x-2} \, dx} = e^{-\ln|x-2|} = \frac{1}{|x-2|}
\]
乘以积分因子得：
\[
\frac{1}{x-2} \frac{dy}{dx} - \frac{y}{(x-2)^2} = 2(x-2)
\]
左边为全微分：
\[
\frac{d}{dx} \left( \frac{y}{x-2} \right) = 2(x-2)
\]
积分得：
\[
\frac{y}{x-2} = (x-2)^2 + C
\]
解得通解：
\[
\boxed{y = C(x-2) + (x-2)^3}
\]
解析
步骤 1：将原方程改写为标准形式
原方程为 $(x-2)\frac{dy}{dx}=y+2(x-2)^{3}$，将其改写为标准形式： \[ \frac{dy}{dx} - \frac{y}{x-2} = 2(x-2)^2 \]
步骤 2：求积分因子
积分因子为： \[ e^{\int -\frac{1}{x-2} \, dx} = e^{-\ln|x-2|} = \frac{1}{|x-2|} \]
步骤 3：乘以积分因子
乘以积分因子得： \[ \frac{1}{x-2} \frac{dy}{dx} - \frac{y}{(x-2)^2} = 2(x-2) \]
步骤 4：将左边写成全微分形式
左边为全微分： \[ \frac{d}{dx} \left( \frac{y}{x-2} \right) = 2(x-2) \]
步骤 5：积分求解
积分得： \[ \frac{y}{x-2} = (x-2)^2 + C \]
步骤 6：解得通解
解得通解： \[ y = C(x-2) + (x-2)^3 \]
原方程为 $(x-2)\frac{dy}{dx}=y+2(x-2)^{3}$，将其改写为标准形式： \[ \frac{dy}{dx} - \frac{y}{x-2} = 2(x-2)^2 \]
步骤 2：求积分因子
积分因子为： \[ e^{\int -\frac{1}{x-2} \, dx} = e^{-\ln|x-2|} = \frac{1}{|x-2|} \]
步骤 3：乘以积分因子
乘以积分因子得： \[ \frac{1}{x-2} \frac{dy}{dx} - \frac{y}{(x-2)^2} = 2(x-2) \]
步骤 4：将左边写成全微分形式
左边为全微分： \[ \frac{d}{dx} \left( \frac{y}{x-2} \right) = 2(x-2) \]
步骤 5：积分求解
积分得： \[ \frac{y}{x-2} = (x-2)^2 + C \]
步骤 6：解得通解
解得通解： \[ y = C(x-2) + (x-2)^3 \]