题目
三、判断题（共5题，10.0分）21.（判断题，2.0分）2xydx+x²dy为某函数u(x,y)全微分.A 对B 错
三、判断题（共5题，10.0分）
21.（判断题，2.0分）
2xydx+x²dy为某函数u(x,y)全微分.
A 对
B 错
题目解答
答案
**答案：A 对**
**解析：**
设 $P(x, y) = 2xy$，$Q(x, y) = x^2$。计算偏导数：
\[
\frac{\partial P}{\partial y} = 2x, \quad \frac{\partial Q}{\partial x} = 2x
\]
由于 $\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}$，满足全微分条件。
构造函数 $u(x, y)$：
\[
u(x, y) = \int 2xy \, dx + f(y) = x^2y + f(y)
\]
由 $\frac{\partial u}{\partial y} = x^2$，得 $f'(y) = 0$，即 $f(y) = C$（常数）。
故 $u(x, y) = x^2y + C$，原微分表达式为全微分。
**答案：A**
解析
步骤 1：定义函数 P 和 Q
设 $P(x, y) = 2xy$，$Q(x, y) = x^2$。
步骤 2：计算偏导数
计算 $\frac{\partial P}{\partial y}$ 和 $\frac{\partial Q}{\partial x}$：
\[ \frac{\partial P}{\partial y} = 2x, \quad \frac{\partial Q}{\partial x} = 2x \]
步骤 3：验证全微分条件
由于 $\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}$，满足全微分条件。
步骤 4：构造函数 u(x, y)
构造函数 $u(x, y)$：
\[ u(x, y) = \int 2xy \, dx + f(y) = x^2y + f(y) \]
步骤 5：确定函数 f(y)
由 $\frac{\partial u}{\partial y} = x^2$，得 $f'(y) = 0$，即 $f(y) = C$（常数）。
步骤 6：确定函数 u(x, y)
故 $u(x, y) = x^2y + C$，原微分表达式为全微分。
设 $P(x, y) = 2xy$，$Q(x, y) = x^2$。
步骤 2：计算偏导数
计算 $\frac{\partial P}{\partial y}$ 和 $\frac{\partial Q}{\partial x}$：
\[ \frac{\partial P}{\partial y} = 2x, \quad \frac{\partial Q}{\partial x} = 2x \]
步骤 3：验证全微分条件
由于 $\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}$，满足全微分条件。
步骤 4：构造函数 u(x, y)
构造函数 $u(x, y)$：
\[ u(x, y) = \int 2xy \, dx + f(y) = x^2y + f(y) \]
步骤 5：确定函数 f(y)
由 $\frac{\partial u}{\partial y} = x^2$，得 $f'(y) = 0$，即 $f(y) = C$（常数）。
步骤 6：确定函数 u(x, y)
故 $u(x, y) = x^2y + C$，原微分表达式为全微分。