[例12.22]计算曲面积分 ∫zds, 其中∑为锥面 =sqrt ({x)^2+(y)^2} 在柱体 ^2+(y)^2leqslant 2x 内-|||-的部分.

考查要点：本题主要考查曲面积分的计算方法，特别是将曲面积分转化为二重积分的能力，以及在极坐标系下的积分技巧。

解题核心思路：

1. 投影法选择：由于积分曲面在xOy面上的投影区域为圆，形状规则，选择投影到xOy面，将曲面积分转化为二重积分。
2. 计算$dS$的表达式：利用曲面方程$z=\sqrt{x^2+y^2}$，求出偏导数并代入公式$dS=\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}dx dy$，化简后得到$dS=\sqrt{2}dx dy$。
3. 极坐标变换：将积分区域$x^2+y^2 \leq 2x$转化为极坐标形式$r \leq 2\cos\theta$，简化积分计算。

破题关键点：

• 正确确定投影区域：柱体方程$x^2+y^2 \leq 2x$对应极坐标下的$r \leq 2\cos\theta$。
• 对称性简化积分：利用被积函数的偶性，将积分区间对称性转化为简化计算的工具。

步骤1：确定投影区域
积分曲面$\sum$在xOy面上的投影区域为圆盘$D_{xy} = \{(x,y) \mid x^2 + y^2 \leq 2x\}$，对应极坐标方程$r \leq 2\cos\theta$，其中$\theta \in [-\pi/2, \pi/2]$。

步骤2：计算$dS$的表达式
由$z = \sqrt{x^2 + y^2}$，得偏导数：
$z_x = \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}}, \quad z_y = \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}}.$
代入公式$dS = \sqrt{1 + z_x^2 + z_y^2}dx dy$，化简得：
$dS = \sqrt{2}dx dy.$

步骤3：转化为极坐标积分
被积函数$z = \sqrt{x^2 + y^2} = r$，积分区域用极坐标表示为：
$\iint_{D_{xy}} z \, dS = \sqrt{2} \iint_{D_{xy}} r \cdot r \, dr d\theta = \sqrt{2} \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \int_0^{2\cos\theta} r^2 \, dr d\theta.$

步骤4：计算径向积分
对$r$积分：
$\int_0^{2\cos\theta} r^2 \, dr = \left. \frac{r^3}{3} \right|_0^{2\cos\theta} = \frac{8\cos^3\theta}{3}.$

步骤5：计算角度积分
利用偶函数性质，积分区间对称性简化为：
$\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos^3\theta \, d\theta = 2 \int_0^{\pi/2} \cos^3\theta \, d\theta.$
通过分部积分或换元法，得：
$\int_0^{\pi/2} \cos^3\theta \, d\theta = \frac{2}{3}.$
因此，角度积分结果为：
$2 \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{3}.$

步骤6：综合结果
最终积分结果为：
$\sqrt{2} \cdot \frac{8}{3} \cdot \frac{4}{3} = \frac{32\sqrt{2}}{9}.$