题目
计算下列各导数:-|||-(1) dfrac (d)(dx)(int )_(0)^(x^2)sqrt (1+{t)^2}dt;-|||-(2) dfrac (d)(dx)(int )_({x)^2}^(x^3)dfrac (dt)(sqrt {1+{t)^4}} ;-|||-(3) dfrac (d)(dx)(int )_(sin x)^cos xcos (pi (t)^2)dt.
题目解答
答案
解析
步骤 1：应用微积分基本定理
微积分基本定理指出，如果函数 $f(t)$ 在区间 $[a, b]$ 上连续，且 $F(x)$ 是 $f(t)$ 的一个原函数，即 $F'(x) = f(x)$，那么有
$$
\frac{d}{dx} \int_{a}^{x} f(t) dt = f(x).
$$
步骤 2：计算第一项导数
对于第一项 $\frac{d}{dx} \int_{0}^{x^2} \sqrt{1 + t^2} dt$，我们应用微积分基本定理，注意到积分上限是 $x^2$，因此需要使用链式法则。设 $F(x) = \int_{0}^{x} \sqrt{1 + t^2} dt$，则
$$
\frac{d}{dx} \int_{0}^{x^2} \sqrt{1 + t^2} dt = \frac{d}{dx} F(x^2) = F'(x^2) \cdot \frac{d}{dx} (x^2) = \sqrt{1 + (x^2)^2} \cdot 2x = 2x \sqrt{1 + x^4}.
$$
步骤 3：计算第二项导数
对于第二项 $\frac{d}{dx} \int_{x^2}^{x^3} \frac{dt}{\sqrt{1 + t^4}}$，我们同样应用微积分基本定理，注意到积分上下限都是关于 $x$ 的函数，因此需要分别计算上下限的导数。设 $G(x) = \int_{0}^{x} \frac{dt}{\sqrt{1 + t^4}}$，则
$$
\frac{d}{dx} \int_{x^2}^{x^3} \frac{dt}{\sqrt{1 + t^4}} = \frac{d}{dx} [G(x^3) - G(x^2)] = G'(x^3) \cdot \frac{d}{dx} (x^3) - G'(x^2) \cdot \frac{d}{dx} (x^2) = \frac{3x^2}{\sqrt{1 + (x^3)^4}} - \frac{2x}{\sqrt{1 + (x^2)^4}}.
$$
步骤 4：计算第三项导数
对于第三项 $\frac{d}{dx} \int_{\sin x}^{\cos x} \cos (\pi t^2) dt$，我们同样应用微积分基本定理，注意到积分上下限都是关于 $x$ 的函数，因此需要分别计算上下限的导数。设 $H(x) = \int_{0}^{x} \cos (\pi t^2) dt$，则
$$
\frac{d}{dx} \int_{\sin x}^{\cos x} \cos (\pi t^2) dt = \frac{d}{dx} [H(\cos x) - H(\sin x)] = H'(\cos x) \cdot \frac{d}{dx} (\cos x) - H'(\sin x) \cdot \frac{d}{dx} (\sin x) = -\sin x \cos (\pi \cos^2 x) - \cos x \cos (\pi \sin^2 x).
$$
微积分基本定理指出，如果函数 $f(t)$ 在区间 $[a, b]$ 上连续，且 $F(x)$ 是 $f(t)$ 的一个原函数，即 $F'(x) = f(x)$，那么有
$$
\frac{d}{dx} \int_{a}^{x} f(t) dt = f(x).
$$
步骤 2：计算第一项导数
对于第一项 $\frac{d}{dx} \int_{0}^{x^2} \sqrt{1 + t^2} dt$，我们应用微积分基本定理，注意到积分上限是 $x^2$，因此需要使用链式法则。设 $F(x) = \int_{0}^{x} \sqrt{1 + t^2} dt$，则
$$
\frac{d}{dx} \int_{0}^{x^2} \sqrt{1 + t^2} dt = \frac{d}{dx} F(x^2) = F'(x^2) \cdot \frac{d}{dx} (x^2) = \sqrt{1 + (x^2)^2} \cdot 2x = 2x \sqrt{1 + x^4}.
$$
步骤 3：计算第二项导数
对于第二项 $\frac{d}{dx} \int_{x^2}^{x^3} \frac{dt}{\sqrt{1 + t^4}}$，我们同样应用微积分基本定理，注意到积分上下限都是关于 $x$ 的函数，因此需要分别计算上下限的导数。设 $G(x) = \int_{0}^{x} \frac{dt}{\sqrt{1 + t^4}}$，则
$$
\frac{d}{dx} \int_{x^2}^{x^3} \frac{dt}{\sqrt{1 + t^4}} = \frac{d}{dx} [G(x^3) - G(x^2)] = G'(x^3) \cdot \frac{d}{dx} (x^3) - G'(x^2) \cdot \frac{d}{dx} (x^2) = \frac{3x^2}{\sqrt{1 + (x^3)^4}} - \frac{2x}{\sqrt{1 + (x^2)^4}}.
$$
步骤 4：计算第三项导数
对于第三项 $\frac{d}{dx} \int_{\sin x}^{\cos x} \cos (\pi t^2) dt$，我们同样应用微积分基本定理，注意到积分上下限都是关于 $x$ 的函数，因此需要分别计算上下限的导数。设 $H(x) = \int_{0}^{x} \cos (\pi t^2) dt$，则
$$
\frac{d}{dx} \int_{\sin x}^{\cos x} \cos (\pi t^2) dt = \frac{d}{dx} [H(\cos x) - H(\sin x)] = H'(\cos x) \cdot \frac{d}{dx} (\cos x) - H'(\sin x) \cdot \frac{d}{dx} (\sin x) = -\sin x \cos (\pi \cos^2 x) - \cos x \cos (\pi \sin^2 x).
$$