题目
int dfrac (1)(sqrt [3]{x)}dx=（计算步骤正确的有）（多选题）Aint dfrac (1)(sqrt [3]{x)}dx=Bint dfrac (1)(sqrt [3]{x)}dx=Cint dfrac (1)(sqrt [3]{x)}dx=Dint dfrac (1)(sqrt [3]{x)}dx=
（计算步骤正确的有）（多选题）
A
B
C
D
题目解答
答案
其中c 为任意常数
故本题的答案为 BC
解析
步骤 1：将被积函数转换为幂函数形式
$\dfrac {1}{\sqrt [3]{x}}$ 可以写成 $x^{-\dfrac {1}{3}}$，因此原积分可以写为 $\int {x}^{-\dfrac {1}{3}}dx$。
步骤 2：计算积分
根据幂函数的积分公式 $\int {x}^{n}dx=\dfrac {1}{n+1}{x}^{n+1}+c$，其中 $n\neq -1$，我们可以计算出 $\int {x}^{-\dfrac {1}{3}}dx=\dfrac {1}{-\dfrac {1}{3}+1}{x}^{-\dfrac {1}{3}+1}+c=\dfrac {1}{\dfrac {2}{3}}{x}^{\dfrac {2}{3}}+c=\dfrac {3}{2}{x}^{\dfrac {2}{3}}+c$。
步骤 3：验证选项
A选项中的幂指数为 $-\dfrac {3}{2}$，与原函数不符，因此A选项错误。
B选项中的幂指数为 $-\dfrac {1}{3}$，与原函数一致，因此B选项正确。
C选项中的结果为 $\dfrac {3}{2}{x}^{\dfrac {2}{3}}+c$，与计算结果一致，因此C选项正确。
D选项中的结果为 $2\sqrt {x}+c\cdot 2{x}^{\dfrac {1}{2}}+c$，与计算结果不符，因此D选项错误。
$\dfrac {1}{\sqrt [3]{x}}$ 可以写成 $x^{-\dfrac {1}{3}}$，因此原积分可以写为 $\int {x}^{-\dfrac {1}{3}}dx$。
步骤 2：计算积分
根据幂函数的积分公式 $\int {x}^{n}dx=\dfrac {1}{n+1}{x}^{n+1}+c$，其中 $n\neq -1$，我们可以计算出 $\int {x}^{-\dfrac {1}{3}}dx=\dfrac {1}{-\dfrac {1}{3}+1}{x}^{-\dfrac {1}{3}+1}+c=\dfrac {1}{\dfrac {2}{3}}{x}^{\dfrac {2}{3}}+c=\dfrac {3}{2}{x}^{\dfrac {2}{3}}+c$。
步骤 3：验证选项
A选项中的幂指数为 $-\dfrac {3}{2}$，与原函数不符，因此A选项错误。
B选项中的幂指数为 $-\dfrac {1}{3}$，与原函数一致，因此B选项正确。
C选项中的结果为 $\dfrac {3}{2}{x}^{\dfrac {2}{3}}+c$，与计算结果一致，因此C选项正确。
D选项中的结果为 $2\sqrt {x}+c\cdot 2{x}^{\dfrac {1}{2}}+c$，与计算结果不符，因此D选项错误。