题目

[题目]若 _(1):-1leqslant xleqslant 1 , -2leqslant yleqslant 2 , _(2):0leqslant xleqslant 1 ,-|||-leqslant yleqslant 2 ,则 _(1)=iint (D)_(1)sin (({x)^2+(y)^2)}^dfrac (1{3)}dsigma 与 _(2)=IJ-|||-_(2)sin (({x)^2+(y)^2)}^dfrac (1{3)}do 之间的关系是 ()-|||-A. _(1)=(I)_(2)-|||-B. _(1)leqslant 2(I)_(2)-|||-C. _(1)=4(I)_(2)-|||-D. _(1)=8(I)_(2)

题目解答

答案

解析

本题考查二重积分的对称性。解题的关键思路是利用积分区域的对称性以及被积函数的奇偶性来简化积分计算，从而找出$I_1$与$I_2$之间的关系。

  1. 首先分析积分区域$D_1$和$D$的关系：
    • 已知$D_1$：$-1\leqslant x\leqslant 1$，$-2\leqslant y\leqslant 2$，$D$：$-1\leqslant x\leqslant 1$，$0\leqslant y\leqslant 2$，可以看出$D_1$关于$x$轴对称，$D$是$D_1$在$y\geqslant0$部分的区域。
    • 对于被积函数$f(x,y)=\sin((x^{2}+y^{2})^{\frac{1}{3}})$，计算$f(-x,y)$：
      • $f(-x,y)=\sin(((-x)^{2}+y^{2})^{\frac{1}{3}})=\sin((x^{2}+y^{2})^{\frac{1}{3}})=f(x,y)$，所以被积函数$f(x,y)$是关于$x$的偶函数。
    • 根据二重积分关于$x$轴对称区域且被积函数为偶函数的性质：若积分区域$D_1$关于$x$轴对称，被积函数$f(x,y)$是关于$x$的偶函数，则$\iint_{D_1}f(x,y)d\sigma = 2\iint_{D}f(x,y)d\sigma$，这里$D$是$D_1$在$y\geqslant0$部分的区域。
      • 所以$I_1=\iint_{D_1}\sin((x^{2}+y^{2})^{\frac{1}{3}})d\sigma = 2\iint_{D}\sin((x^{2}+y^{2})^{\frac{1}{3}})d\sigma$。
  2. 然后分析积分区域$D$和$D_2$的关系：
    • 已知$D$：$-1\leqslant x\leqslant 1$，$0\leqslant y\leqslant 2$，$D_2$：$0\leqslant x\leqslant 1$，$0\leqslant y\leqslant 2$，可以看出$D$关于$y$轴对称，$D_2$是$D$在$x\geqslant0$部分的区域。
    • 对于被积函数$f(x,y)=\sin((x^{2}+y^{2})^{\frac{1}{3}})$，计算$f(x,-y)$：
      • $f(x,-y)=\sin((x^{2}+(-y)^{2})^{\frac{1}{3}})=\sin((x^{2}+y^{2})^{\frac{1}{3}})=f(x,y)$，所以被积函数$f(x,y)$是关于$y$的偶函数。
    • 根据二重积分关于$y$轴对称区域且被积函数为偶函数的性质：若积分区域$D$关于$y$轴对称，被积函数$f(x,y)$是关于$y$的偶函数，则$\iint_{D}f(x,y)d\sigma = 2\iint_{D_2}f(x,y)d\sigma$，这里$D_2$是$D$在$x\geqslant0$部分的区域。
      • 所以$2\iint_{D}\sin((x^{2}+y^{2})^{\frac{1}{3}})d\sigma = 2\times2\iint_{D_2}\sin((x^{2}+y^{2})^{\frac{1}{3}})d\sigma = 4\iint_{D_2}\sin((x^{2}+y^{2})^{\frac{1}{3}})d\sigma$。
    • 又因为$I_2=\iint_{D_2}\sin((x^{2}+y^{2})^{\frac{1}{3}})d\sigma$，所以$I_1 = 4I_2$。