题目
设幂级数 sumlimits_(n = 1)^infty ( { a_n)} (x^n)的收敛半径为3，则幂级数sumlimits_(n = 1)^infty (n{a_n)} ((x - 1)^n - 1)必定收敛的区间为（ ）。A. ( ( - 2,4) )B. [ ( - 2,4) ]C. ( ( - 3,3) )D. ( ( - 4,2) )
设幂级数$ \sum\limits_{n = 1}^\infty { { a_n}} {x^n}$的收敛半径为3，则幂级数$\sum\limits_{n = 1}^\infty {n{a_n}} {(x - 1)^{n - 1}}$必定收敛的区间为（ ）。
A. $ \left( { - 2,4} \right)$
B. $ \left[ { - 2,4} \right]$
C. $ \left( { - 3,3} \right)$
D. $ \left( { - 4,2} \right)$
题目解答
答案
A. $ \left( { - 2,4} \right)$
解析
步骤 1：确定原幂级数的收敛半径
原幂级数$ \sum\limits_{n = 1}^\infty { { a_n}} {x^n}$的收敛半径为3，这意味着当$|x| < 3$时，幂级数收敛。
步骤 2：分析新幂级数的收敛性
新幂级数$\sum\limits_{n = 1}^\infty {n{a_n}} {(x - 1)^{n - 1}}$可以看作是原幂级数$ \sum\limits_{n = 1}^\infty { { a_n}} {x^n}$的导数形式，其中$x$被替换为$x-1$。由于原幂级数的收敛半径为3，新幂级数的收敛半径也是3，但中心点从0变为1。
步骤 3：确定新幂级数的收敛区间
由于新幂级数的收敛半径为3，中心点为1，因此新幂级数的收敛区间为$|x-1| < 3$，即$-2 < x < 4$。因此，新幂级数必定收敛的区间为$(-2, 4)$。
原幂级数$ \sum\limits_{n = 1}^\infty { { a_n}} {x^n}$的收敛半径为3，这意味着当$|x| < 3$时，幂级数收敛。
步骤 2：分析新幂级数的收敛性
新幂级数$\sum\limits_{n = 1}^\infty {n{a_n}} {(x - 1)^{n - 1}}$可以看作是原幂级数$ \sum\limits_{n = 1}^\infty { { a_n}} {x^n}$的导数形式，其中$x$被替换为$x-1$。由于原幂级数的收敛半径为3，新幂级数的收敛半径也是3，但中心点从0变为1。
步骤 3：确定新幂级数的收敛区间
由于新幂级数的收敛半径为3，中心点为1，因此新幂级数的收敛区间为$|x-1| < 3$，即$-2 < x < 4$。因此，新幂级数必定收敛的区间为$(-2, 4)$。