题目
若函数f(x,y)满足 (0,0)=0. () 且-|||-(x,y→0,0)-|||-(x1im0,0)f(x(y))/(x^2g)=1,则有() ()A.(0,0)点不是f的极值点B.(0,0)点是f的极小值点C.无法确定D.（0，0）点是f的极大值点
- A.(0,0)点不是f的极值点
- B.(0,0)点是f的极小值点
- C.无法确定
- D.（0，0）点是f的极大值点
题目解答
答案
A. (0,0)点不是f的极值点
解析
步骤 1：理解给定条件
给定条件是函数$f(x,y)$在点$(0,0)$处的值为0，即$f(0,0)=0$。同时，当$(x,y)$趋近于$(0,0)$时，函数$f(x,y)$与${x}^{2}y$的比值的极限为1，即$\lim _{(x,y)\rightarrow (0,0)}\dfrac {f(x,y)}{{x}^{2}y}=1$。
步骤 2：分析函数$f(x,y)$的性质
根据给定的极限条件，可以推断出$f(x,y)$在$(0,0)$附近的行为。由于$\lim _{(x,y)\rightarrow (0,0)}\dfrac {f(x,y)}{{x}^{2}y}=1$，可以得出$f(x,y)$在$(0,0)$附近与${x}^{2}y$的值相近，即$f(x,y)$在$(0,0)$附近可以近似表示为$f(x,y) \approx {x}^{2}y$。
步骤 3：判断极值点
由于$f(x,y) \approx {x}^{2}y$，在$(0,0)$点附近，当$x$和$y$同时为正或同时为负时，$f(x,y)$的值为正；当$x$和$y$一正一负时，$f(x,y)$的值为负。因此，$(0,0)$点不是$f(x,y)$的极值点，因为在其附近，函数值既有大于$f(0,0)=0$的，也有小于$f(0,0)=0$的。
给定条件是函数$f(x,y)$在点$(0,0)$处的值为0，即$f(0,0)=0$。同时，当$(x,y)$趋近于$(0,0)$时，函数$f(x,y)$与${x}^{2}y$的比值的极限为1，即$\lim _{(x,y)\rightarrow (0,0)}\dfrac {f(x,y)}{{x}^{2}y}=1$。
步骤 2：分析函数$f(x,y)$的性质
根据给定的极限条件，可以推断出$f(x,y)$在$(0,0)$附近的行为。由于$\lim _{(x,y)\rightarrow (0,0)}\dfrac {f(x,y)}{{x}^{2}y}=1$，可以得出$f(x,y)$在$(0,0)$附近与${x}^{2}y$的值相近，即$f(x,y)$在$(0,0)$附近可以近似表示为$f(x,y) \approx {x}^{2}y$。
步骤 3：判断极值点
由于$f(x,y) \approx {x}^{2}y$，在$(0,0)$点附近，当$x$和$y$同时为正或同时为负时，$f(x,y)$的值为正；当$x$和$y$一正一负时，$f(x,y)$的值为负。因此，$(0,0)$点不是$f(x,y)$的极值点，因为在其附近，函数值既有大于$f(0,0)=0$的，也有小于$f(0,0)=0$的。