利用定积分的几何意义,证明下列等式:-|||-(1) (int )_(0)^12xdx=1;-|||-(2) (int )_(0)^1sqrt (1-{x)^2}dx=dfrac (pi )(4);-|||-(3) (int )_(-pi )^pi sin xdx=0;-|||-(4) (int )_(-dfrac {pi )(2)}^dfrac (pi {2)}cos xdx=2(int )_(0)^dfrac (pi {2)}cos xdx.
题目解答
答案
解析
- 第（1）题：考查直线与坐标轴围成的三角形面积的几何意义，关键是将积分转化为三角形面积计算。
- 第（2）题：考查单位圆部分面积的几何意义，需识别积分对应四分之一圆的面积。
- 第（3）题：考查奇函数在对称区间积分性质，通过图形对称性直接得出结果。
- 第（4）题：考查偶函数在对称区间积分性质，通过图形对称性拆分积分区间。
第（1）题
几何图形分析
积分 $\int_{0}^{1}2x\,dx$ 对应直线 $y=2x$、$x=1$ 和 $x$ 轴围成的图形，该图形为三角形，底为 $1$，高为 $2 \times 1 = 2$。
面积计算
三角形面积公式为 $\frac{1}{2} \times \text{底} \times \text{高} = \frac{1}{2} \times 1 \times 2 = 1$，故积分值为 $1$。
第（2）题
曲线形状分析
$y=\sqrt{1-x^2}$ 是单位圆 $x^2 + y^2 = 1$ 在第一象限的部分（上半圆）。
面积计算
第一象限内单位圆的面积为 $\frac{1}{4} \times \pi \times 1^2 = \frac{\pi}{4}$，故积分值为 $\frac{\pi}{4}$。
第（3）题
函数对称性分析
$\sin x$ 是奇函数，在 $[-\pi, 0]$ 和 $[0, \pi]$ 的图形关于原点对称。
积分几何意义
积分 $\int_{-\pi}^{\pi} \sin x \,dx$ 表示 $[0, \pi]$ 上的面积（正值）与 $[-\pi, 0]$ 上的面积（负值）相加，结果为 $0$。
第（4）题
函数对称性分析
$\cos x$ 是偶函数，在 $[-\frac{\pi}{2}, 0]$ 和 $[0, \frac{\pi}{2}]$ 的图形对称。
积分拆分
$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos x \,dx = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{0} \cos x \,dx + \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x \,dx$。
由于对称性，$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{0} \cos x \,dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x \,dx$，故总积分等于 $2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x \,dx$。