题目
设函数 (x)=dfrac (4sqrt {3)}(9)arctan (dfrac (2x+1)(sqrt {3)}) ,其反函数为φ(y),求φ'(y).。
。
题目解答
答案
我们可以使用反函数的导数公式来求解该题。根据反函数的导数公式，如果函数f(x)在区间(a, b)上连续且可导，并且
，则反函数
在区间(c, d)上也连续且可导，并且有以下关系成立：
对于给定的函数f(x)，我们首先求其导数f'(x)：
利用链式法则，我们可以计算出f'(x)的表达式为：
然后我们需要找到函数f(x)在定义域上的反函数，即解方程
，将其表示为
。通过求解该方程，我们可以得到反函数的表达式为：
最后，我们可以计算反函数的导数
，根据反函数的导数公式：
将的表达式代入，化简后可以得到最终的表达式为：
因此，。
解析
步骤 1：求函数 $f(x)$ 的导数 $f'(x)$
根据题目给出的函数 $f(x)=\dfrac {4\sqrt {3}}{9}\arctan (\dfrac {2x+1}{\sqrt {3}})$，我们首先需要求出其导数 $f'(x)$。利用链式法则，我们可以计算出 $f'(x)$ 的表达式为：
$f'(x)=\dfrac {4}{3+4{x}^{2}+4x}$
步骤 2：求反函数 $\varphi (y)$
接下来，我们需要找到函数 $f(x)$ 在定义域上的反函数，即解方程 $x={f}^{-1}(y)$，将其表示为 $x=\varphi (y)$。通过求解该方程，我们可以得到反函数的表达式为：
$\varphi (y)=\dfrac {\sqrt {3}}{2}\tan (\dfrac {3y}{4\sqrt {3}}-\dfrac {\pi }{6})-\dfrac {1}{2}$
步骤 3：求反函数的导数 $\varphi '(y)$
最后，我们可以计算反函数的导数 $\varphi '(y)$，根据反函数的导数公式：
$\varphi '(y)=\dfrac {1}{f'(\varphi (y))}$
将 $\varphi (y)$ 的表达式代入，化简后可以得到最终的表达式为：
$\varphi '(y)=\dfrac {3+2{\tan }^{2}(\dfrac {3y}{4\sqrt {3}}-\dfrac {\pi }{6})}{2}$
根据题目给出的函数 $f(x)=\dfrac {4\sqrt {3}}{9}\arctan (\dfrac {2x+1}{\sqrt {3}})$，我们首先需要求出其导数 $f'(x)$。利用链式法则，我们可以计算出 $f'(x)$ 的表达式为：
$f'(x)=\dfrac {4}{3+4{x}^{2}+4x}$
步骤 2：求反函数 $\varphi (y)$
接下来，我们需要找到函数 $f(x)$ 在定义域上的反函数，即解方程 $x={f}^{-1}(y)$，将其表示为 $x=\varphi (y)$。通过求解该方程，我们可以得到反函数的表达式为：
$\varphi (y)=\dfrac {\sqrt {3}}{2}\tan (\dfrac {3y}{4\sqrt {3}}-\dfrac {\pi }{6})-\dfrac {1}{2}$
步骤 3：求反函数的导数 $\varphi '(y)$
最后，我们可以计算反函数的导数 $\varphi '(y)$，根据反函数的导数公式：
$\varphi '(y)=\dfrac {1}{f'(\varphi (y))}$
将 $\varphi (y)$ 的表达式代入，化简后可以得到最终的表达式为：
$\varphi '(y)=\dfrac {3+2{\tan }^{2}(\dfrac {3y}{4\sqrt {3}}-\dfrac {\pi }{6})}{2}$