已知函数U f(x)= ) (x)^2,xgeqslant 1 x+1,xlt 1 .在x=1处( ).A.左右导数都存在B.左导数存在,右导数不存在C.左导数不存在,右导数存在D.左右导数都不存在

考查要点：本题主要考查分段函数在分段点处的导数存在性问题，特别是左右导数的定义及计算。

解题核心思路：

1. 明确导数定义：左右导数的存在性需要分别通过单侧极限判断。
2. 分析函数在分段点的定义：若函数在分段点处未定义，则导数不存在；若已定义，则需进一步计算左右导数。
3. 计算左右导数：通过极限形式判断是否存在有限的左导数和右导数。

破题关键点：

• 左导数计算：当$x=1$左侧趋近时，函数表达式为$x+1$，需计算$\lim_{h \to 0^+} \frac{P(1-h) - P(1)}{-h}$。若极限不存在，则左导数不存在。
• 右导数计算：当$x=1$右侧趋近时，函数表达式为$a^2$，需计算$\lim_{h \to 0^+} \frac{P(1+h) - P(1)}{h}$。若极限存在，则右导数存在。

函数定义补充：题目中函数在$x=1$处未明确定义，但根据选项推断，函数在$x=1$处应定义为$P(1) = a^2$（否则左右导数均不存在，与答案矛盾）。

左导数计算

1. 表达式代入：
   当$x < 1$时，$P(x) = x + 1$，因此$P(1-h) = (1-h) + 1 = 2 - h$。
   左导数为：
   $\lim_{h \to 0^+} \frac{P(1-h) - P(1)}{-h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{(2 - h) - a^2}{-h}$

2. 化简极限：
   $\lim_{h \to 0^+} \frac{2 - a^2 - h}{-h} = \lim_{h \to 0^+} \left( \frac{2 - a^2}{-h} - 1 \right)$

3. 判断极限存在性：

   • 若$2 - a^2 \neq 0$，则$\frac{2 - a^2}{-h}$趋向于$\pm\infty$，极限不存在，左导数不存在。
   • 若$2 - a^2 = 0$（即$a^2 = 2$），则极限为$-1$，左导数存在。
     由于题目未限定$a$的值，默认$a^2 \neq 2$，故左导数不存在。

右导数计算

1. 表达式代入：
   当$x > 1$时，$P(x) = a^2$，因此$P(1+h) = a^2$。
   右导数为：
   $\lim_{h \to 0^+} \frac{P(1+h) - P(1)}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{a^2 - a^2}{h} = \lim_{h \to 0^+} 0 = 0$

2. 结论：右导数存在且等于$0$。