题目

【填空题】已知P(A)=0.4，P(B)=0.3，(1) 当A,B互不相容时, P(Acup B)=_____; P(AB)=____.(2) 当 Bsubset A 时, P(Acup B)=_____P(AB)=_____;

【填空题】已知$P(A)=0.4$，$P(B)=0.3$， (1) 当A,B互不相容时, $P(A\cup B)=$_____; $P(AB)=$____. (2) 当 $B\subset A$ 时, $P(A\cup B)=$_____$P(AB)=$_____;

题目解答

答案

我们来逐步分析并解答这个概率题。

已知：

  • $ P(A) = 0.4 $
  • $ P(B) = 0.3 $

(1) 当 A, B 互不相容时

互不相容（也叫互斥）的定义是：事件 A 和事件 B 不能同时发生，即它们的交集为空事件。

因此：

  • $ A \cap B = \emptyset $，所以 $ P(A \cap B) = 0 $

根据概率的加法公式：
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$
代入已知数据：
$P(A \cup B) = 0.4 + 0.3 - 0 = 0.7$

所以：

  • $ P(A \cup B) = 0.7 $
  • $ P(AB) = P(A \cap B) = 0 $

> 注：题目中 $ P(AB) $ 就是 $ P(A \cap B) $ 的简写。

(2) 当 $ B \subset A $ 时

表示事件 B 是事件 A 的子集，即只要 B 发生，A 一定发生。

根据集合关系 $ B \subset A $，我们可以得出：

  • $ A \cup B = A $，因为 B 完全包含在 A 中，所以并集就是 A 本身。
    $P(A \cup B) = P(A) = 0.4$

  • $ A \cap B = B $，因为 B 是 A 的子集，所以交集就是 B。
    $P(A \cap B) = P(B) = 0.3$

所以：

  • $ P(A \cup B) = 0.4 $
  • $ P(AB) = P(A \cap B) = 0.3 $

最终答案：

(1) 当 A, B 互不相容时：
$ P(A \cup B) = \boxed{0.7} $；
$ P(AB) = \boxed{0} $

(2) 当 $ B \subset A $ 时：
$ P(A \cup B) = \boxed{0.4} $；
$ P(AB) = \boxed{0.3} $

解析

考查要点：本题主要考查互不相容事件和事件包含关系下概率的计算，需要熟练掌握概率加法公式及事件关系对概率的影响。

解题思路：

  1. 互不相容时，两事件无交集，直接相加概率；
  2. 事件包含时，并集概率等于较大事件的概率，交集概率等于较小事件的概率。

关键点：

  • 互不相容 $\Rightarrow P(A \cap B) = 0$；
  • $B \subset A$ $\Rightarrow P(A \cup B) = P(A)$，$P(A \cap B) = P(B)$。

第（1）题

第一空

互不相容事件的并集概率
根据概率加法公式：
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$
因 $A$ 和 $B$ 互不相容，$P(A \cap B) = 0$，代入得：
$P(A \cup B) = 0.4 + 0.3 - 0 = 0.7$

第二空

互不相容事件的交概率
互不相容事件的交集为空集，故：
$P(AB) = P(A \cap B) = 0$

第（2）题

第一空

事件包含时的并集概率
因 $B \subset A$，并集等价于 $A$，故：
$P(A \cup B) = P(A) = 0.4$

第二空

事件包含时的交概率
因 $B \subset A$，交集等价于 $B$，故：
$P(AB) = P(A \cap B) = P(B) = 0.3$