题目
27.求下列多项式的有理根:1) x^3-6x^2+15x-14; 2) 4x^4-7x^2-5x-1;3) x^5+x^4-6x^3-14x^2-11x-3.
27.求下列多项式的有理根:
1) $x^{3}-6x^{2}+15x-14$; 2) $4x^{4}-7x^{2}-5x-1$;
3) $x^{5}+x^{4}-6x^{3}-14x^{2}-11x-3$.
题目解答
答案
1. **多项式：** $x^3 - 6x^2 + 15x - 14$
**有理根：**
可能根：$\pm 1, \pm 2, \pm 7, \pm 14$
检验得：$x = 2$（满足）
**答案：** $x = 2$
2. **多项式：** $4x^4 - 7x^2 - 5x - 1$
**有理根：**
可能根：$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{4}$
检验得：$x = -\frac{1}{2}$（满足）
**答案：** $x = -\frac{1}{2}$
3. **多项式：** $x^5 + x^4 - 6x^3 - 14x^2 - 11x - 3$
**有理根：**
可能根：$\pm 1, \pm 3$
检验得：$x = -1$（四重根），$x = 3$（单根）
**答案：** $x = -1$（四重根），$x = 3$（单根）
\[
\boxed{
\begin{array}{ll}
1. & x = 2 \\
2. & x = -\frac{1}{2} \\
3. & x = -1 \text{（四重根）}, x = 3 \text{（单根）} \\
\end{array}
\]
解析
考查要点：本题主要考查有理根定理的应用，即通过确定多项式可能的有理根，代入检验后求解。
解题核心思路：
- 确定可能的有理根：根据有理根定理，可能的有理根为常数项因数除以首项系数因数。
- 代入检验：将可能的有理根代入多项式，验证是否为根。
- 分解多项式（若需要）：若找到有理根，可通过多项式除法分解，进一步寻找其他有理根。
破题关键点：
- 正确列出所有可能的有理根，避免遗漏。
- 准确代入计算，确保检验结果的正确性。
- 注意重根情况，如第3题中$x=-1$为四重根。
1) $x^{3}-6x^{2}+15x-14$
确定可能的有理根
- 常数项为$-14$，因数为$\pm1, \pm2, \pm7, \pm14$。
- 首项系数为$1$，因数为$\pm1$。
- 可能的有理根：$\pm1, \pm2, \pm7, \pm14$。
代入检验
- $x=2$时：$2^3 -6 \cdot 2^2 +15 \cdot 2 -14 = 8 -24 +30 -14 = 0$，满足方程。
- 其他值代入均不为零，故唯一有理根为$x=2$。
2) $4x^{4}-7x^{2}-5x-1$
确定可能的有理根
- 常数项为$-1$，因数为$\pm1$。
- 首项系数为$4$，因数为$\pm1, \pm2, \pm4$。
- 可能的有理根：$\pm1, \pm\frac{1}{2}, \pm\frac{1}{4}$。
代入检验
- $x=-\frac{1}{2}$时：
$4\left(-\frac{1}{2}\right)^4 -7\left(-\frac{1}{2}\right)^2 -5\left(-\frac{1}{2}\right) -1 = \frac{4}{16} - \frac{7}{4} + \frac{5}{2} -1 = 0$
计算得$0$，满足方程。 - 其他值代入均不为零，故唯一有理根为$x=-\frac{1}{2}$。
3) $x^{5}+x^{4}-6x^{3}-14x^{2}-11x-3$
确定可能的有理根
- 常数项为$-3$，因数为$\pm1, \pm3$。
- 首项系数为$1$，因数为$\pm1$。
- 可能的有理根：$\pm1, \pm3$。
代入检验
- $x=-1$时：
$(-1)^5 + (-1)^4 -6(-1)^3 -14(-1)^2 -11(-1) -3 = -1 +1 +6 -14 +11 -3 = 0$
满足方程。 - $x=3$时：
$3^5 +3^4 -6 \cdot 3^3 -14 \cdot 3^2 -11 \cdot 3 -3 = 243 +81 -162 -126 -33 -3 = 0$
满足方程。
分解多项式
- 通过多项式除法分解，可得：
$(x+1)^4(x-3)$
因此，$x=-1$为四重根，$x=3$为单根。