题目

[题目]已知 (overline (A))=0.3 ,P(B)=0.4, (Aoverline (B))=0.5, 则-|||-(B|Acup overline (B))= __ ..

题目解答

答案

解析

考查要点：本题主要考查条件概率的计算，涉及事件的并集、交集运算，以及概率的加法公式和乘法公式的应用。

解题核心思路：

  1. 确定所求条件概率的表达式，利用条件概率公式分解为分子和分母；
  2. 简化分子和分母中的事件关系，利用事件的互斥性或包含关系化简；
  3. 结合已知条件，通过概率的基本公式（如加法公式、乘法公式）计算所需概率值。

破题关键点：

  • 分子部分：明确条件概率中的事件交集关系，利用事件互斥性化简；
  • 分母部分：正确应用概率加法公式计算并集概率；
  • 灵活利用已知条件，通过事件分解（如 $P(AB) = P(A) - P(A\overline{B})$）间接求解未知概率。

已知条件：

  • $P(\overline{A}) = 0.3 \Rightarrow P(A) = 1 - 0.3 = 0.7$
  • $P(B) = 0.4$
  • $P(A\overline{B}) = 0.5$

目标：求 $P(B|A \cup \overline{B})$

步骤分解：

1. 条件概率公式展开

根据条件概率定义：
$P(B|A \cup \overline{B}) = \frac{P(B \cap (A \cup \overline{B}))}{P(A \cup \overline{B})}$

2. 化简分子

由于 $B$ 与 $\overline{B}$ 互斥，且 $B \cap \overline{B} = \emptyset$，因此：
$B \cap (A \cup \overline{B}) = B \cap A = AB$
故分子为 $P(AB)$。

3. 计算分母

利用概率加法公式：
$P(A \cup \overline{B}) = P(A) + P(\overline{B}) - P(A \cap \overline{B})$
代入已知数据：
$P(\overline{B}) = 1 - P(B) = 0.6, \quad P(A \cap \overline{B}) = 0.5$
得：
$P(A \cup \overline{B}) = 0.7 + 0.6 - 0.5 = 0.8$

4. 计算分子 $P(AB)$

由事件分解关系：
$P(A) = P(AB) + P(A\overline{B}) \Rightarrow P(AB) = P(A) - P(A\overline{B}) = 0.7 - 0.5 = 0.2$

5. 代入条件概率公式

最终结果为：
$P(B|A \cup \overline{B}) = \frac{0.2}{0.8} = \frac{1}{4}$