设抛物线 =a(x)^2+bx+c 过原点,当 抛物线与x轴及直线 x=1 所围图形的面积为 1/3 试确定a,b,c的值,使此图形绕x轴旋转一-|||-周而成的旋转体的体积V最小.leqslant xleqslant 1 时 geqslant 0, 又已知该设抛物线 =a(x)^2+bx+c 过原点,当 抛物线与x轴及直线 x=1 所围图形的面积为 1/3 试确定a,b,c的值,使此图形绕x轴旋转一-|||-周而成的旋转体的体积V最小.leqslant xleqslant 1 时 geqslant 0, 又已知该

步骤 1：确定c的值
由于抛物线过原点，即当 $x=0$ 时，$y=0$，因此 $c=0$。

步骤 2：确定a和b的关系
由题意，抛物线与x轴及直线 $x=1$ 所围图形的面积为 $\dfrac {1}{3}$，即
$$
\int_{0}^{1} (a{x}^{2}+bx)dx = \dfrac {1}{3}
$$
计算积分，得到
$$
\left[\dfrac {a{x}^{3}}{3}+\dfrac {b{x}^{2}}{2}\right]_{0}^{1} = \dfrac {a}{3}+\dfrac {b}{2} = \dfrac {1}{3}
$$
解得 $b=\dfrac {2}{3}(1-a)$。

步骤 3：计算旋转体的体积V
旋转体的体积 $V$ 可以通过积分计算得到，即
$$
V=\pi \int_{0}^{1} {(a{x}^{2}+bx)}^{2}dx
$$
将 $b=\dfrac {2}{3}(1-a)$ 代入，得到
$$
V=\pi \int_{0}^{1} {(a{x}^{2}+\dfrac {2}{3}(1-a)x)}^{2}dx
$$
计算积分，得到
$$
V=\pi \left[\dfrac {{a}^{2}{x}^{5}}{5}+\dfrac {2a(1-a){x}^{4}}{3}+\dfrac {{(1-a)}^{2}{x}^{3}}{9}\right]_{0}^{1}
$$
化简得到
$$
V=\pi \left(\dfrac {{a}^{2}}{5}+\dfrac {2a(1-a)}{3}+\dfrac {{(1-a)}^{2}}{9}\right)
$$
进一步化简得到
$$
V=\pi \left(\dfrac {{a}^{2}}{5}+\dfrac {2a}{3}-\dfrac {2{a}^{2}}{3}+\dfrac {1}{9}-\dfrac {2a}{9}+\dfrac {{a}^{2}}{9}\right)
$$
$$
V=\pi \left(\dfrac {4{a}^{2}}{45}+\dfrac {4a}{9}+\dfrac {1}{9}\right)
$$
$$
V=\pi \left(\dfrac {4{a}^{2}+20a+5}{45}\right)
$$
步骤 4：求导并确定a的值
为了使体积 $V$ 最小，对 $V$ 关于 $a$ 求导并令导数为0，得到
$$
{V}_{a'}=\pi \left(\dfrac {8a+20}{45}\right)=0
$$
解得 $a=-\dfrac {5}{4}$。

步骤 5：确定b的值
将 $a=-\dfrac {5}{4}$ 代入 $b=\dfrac {2}{3}(1-a)$，得到
$$
b=\dfrac {2}{3}\left(1+\dfrac {5}{4}\right)=\dfrac {3}{2}
$$