题目
13.求曲线 =3-|(x)^2-1| 与x轴围成的封闭图形绕直线 y=3 旋转所得的旋转体的-|||-体积.
题目解答
答案
答案: \\frac{448}{15}\\pi 解析:设V₁,V₂分别为 [0,1],[1,2,2] 上的体积则 dV_{1}=\\pi\\{3^{2}-[3-(x^{2}+2)]\\}dx dv_{2}=\\pi\\{3^{2}-[3-(4-x^{2})]^{2}\\}dx 由对称性 V=2(V_{1}+V_{2})=2 \\pi \\in{t}_{0}^{1}f_{3}^{2}-[3-(x^{2}+2)]^{2}fdx=2 \\pi \\in{t}_{0}^{2}(8+2 x^{2}-x^{4})dx=2 \\pi(8 x+\\frac{2}{3}x^{3}-\\frac{1}{5}x^{5})|_{0}^{2}=\\frac{448}{15} 知识点:定积分的应用
解析
步骤 1：确定曲线与x轴的交点
曲线 $y=3-|x^2-1|$ 与x轴的交点，即 $y=0$，解方程 $3-|x^2-1|=0$，得到 $|x^2-1|=3$，即 $x^2-1=3$ 或 $x^2-1=-3$。解得 $x=\pm2$ 或 $x=\pm\sqrt{-2}$（舍去），因此曲线与x轴的交点为 $x=\pm2$。
步骤 2：确定旋转体的体积
曲线 $y=3-|x^2-1|$ 与x轴围成的封闭图形绕直线 $y=3$ 旋转所得的旋转体的体积，可以分为两部分计算，即 $x\in[0,1]$ 和 $x\in[1,2]$。由于图形关于y轴对称，因此只需计算 $x\in[0,2]$ 的体积，再乘以2即可。
步骤 3：计算旋转体的体积
对于 $x\in[0,1]$，$y=3-(x^2-1)=4-x^2$，旋转体的体积 $V_1$ 为：
$$
V_1 = \pi \int_{0}^{1} [3^2 - (3-(4-x^2))^2] dx = \pi \int_{0}^{1} (8+2x^2-x^4) dx
$$
对于 $x\in[1,2]$，$y=3-(1-x^2)=2+x^2$，旋转体的体积 $V_2$ 为：
$$
V_2 = \pi \int_{1}^{2} [3^2 - (3-(2+x^2))^2] dx = \pi \int_{1}^{2} (8+2x^2-x^4) dx
$$
因此，旋转体的总体积 $V$ 为：
$$
V = 2(V_1 + V_2) = 2\pi \int_{0}^{2} (8+2x^2-x^4) dx
$$
计算积分：
$$
V = 2\pi \left[8x + \frac{2}{3}x^3 - \frac{1}{5}x^5\right]_{0}^{2} = 2\pi \left(16 + \frac{16}{3} - \frac{32}{5}\right) = \frac{448}{15}\pi
$$
曲线 $y=3-|x^2-1|$ 与x轴的交点，即 $y=0$，解方程 $3-|x^2-1|=0$，得到 $|x^2-1|=3$，即 $x^2-1=3$ 或 $x^2-1=-3$。解得 $x=\pm2$ 或 $x=\pm\sqrt{-2}$（舍去），因此曲线与x轴的交点为 $x=\pm2$。
步骤 2：确定旋转体的体积
曲线 $y=3-|x^2-1|$ 与x轴围成的封闭图形绕直线 $y=3$ 旋转所得的旋转体的体积，可以分为两部分计算，即 $x\in[0,1]$ 和 $x\in[1,2]$。由于图形关于y轴对称，因此只需计算 $x\in[0,2]$ 的体积，再乘以2即可。
步骤 3：计算旋转体的体积
对于 $x\in[0,1]$，$y=3-(x^2-1)=4-x^2$，旋转体的体积 $V_1$ 为：
$$
V_1 = \pi \int_{0}^{1} [3^2 - (3-(4-x^2))^2] dx = \pi \int_{0}^{1} (8+2x^2-x^4) dx
$$
对于 $x\in[1,2]$，$y=3-(1-x^2)=2+x^2$，旋转体的体积 $V_2$ 为：
$$
V_2 = \pi \int_{1}^{2} [3^2 - (3-(2+x^2))^2] dx = \pi \int_{1}^{2} (8+2x^2-x^4) dx
$$
因此，旋转体的总体积 $V$ 为：
$$
V = 2(V_1 + V_2) = 2\pi \int_{0}^{2} (8+2x^2-x^4) dx
$$
计算积分：
$$
V = 2\pi \left[8x + \frac{2}{3}x^3 - \frac{1}{5}x^5\right]_{0}^{2} = 2\pi \left(16 + \frac{16}{3} - \frac{32}{5}\right) = \frac{448}{15}\pi
$$