题目
设平面曲线 L 为上半圆周 y=sqrt(1-x^2)，int_(L)(x^2+y^2)ds(）.A. piB. 2piC. 3piD. 4pi
设平面曲线 $L$ 为上半圆周 $y=\sqrt{1-x^2}$，$\int_{L}(x^2+y^2)ds$(）.
A. $\pi$
B. $2\pi$
C. $3\pi$
D. $4\pi$
题目解答
答案
A. $\pi$
解析
步骤 1：参数化曲线
将曲线 $L$ 参数化为 $x = \cos t$，$y = \sin t$，其中 $0 \leq t \leq \pi$。这是因为上半圆周 $y=\sqrt{1-x^2}$ 可以通过参数方程 $x = \cos t$ 和 $y = \sin t$ 来表示，其中 $t$ 从 $0$ 变化到 $\pi$。
步骤 2：计算弧长元素
弧长元素 $ds$ 可以通过参数方程的导数来计算。对于 $x = \cos t$ 和 $y = \sin t$，我们有 $dx = -\sin t \, dt$ 和 $dy = \cos t \, dt$。因此，$ds = \sqrt{(-\sin t)^2 + (\cos t)^2} \, dt = dt$。
步骤 3：计算积分
被积函数 $x^2 + y^2 = 1$，因为 $x = \cos t$ 和 $y = \sin t$，所以 $x^2 + y^2 = \cos^2 t + \sin^2 t = 1$。因此，积分变为：\[ \int_0^\pi 1 \, dt = \pi. \]
将曲线 $L$ 参数化为 $x = \cos t$，$y = \sin t$，其中 $0 \leq t \leq \pi$。这是因为上半圆周 $y=\sqrt{1-x^2}$ 可以通过参数方程 $x = \cos t$ 和 $y = \sin t$ 来表示，其中 $t$ 从 $0$ 变化到 $\pi$。
步骤 2：计算弧长元素
弧长元素 $ds$ 可以通过参数方程的导数来计算。对于 $x = \cos t$ 和 $y = \sin t$，我们有 $dx = -\sin t \, dt$ 和 $dy = \cos t \, dt$。因此，$ds = \sqrt{(-\sin t)^2 + (\cos t)^2} \, dt = dt$。
步骤 3：计算积分
被积函数 $x^2 + y^2 = 1$，因为 $x = \cos t$ 和 $y = \sin t$，所以 $x^2 + y^2 = \cos^2 t + \sin^2 t = 1$。因此，积分变为：\[ \int_0^\pi 1 \, dt = \pi. \]