已知lim_(xto+infty)x^a[sqrt(x^2)+1+sqrt(x^2)-1-2x]=bneq0，则a,b的值为（）A. a=3,b=(1)/(4)B. a=-3,b=(1)/(4)C. a=-3,b=-(1)/(4)D. a=3,b=-(1)/(4)

考查要点：本题主要考查极限的计算，特别是涉及无穷小量的等价替换和泰勒展开的应用，同时需要确定参数使得极限为非零常数。

解题核心思路：

1. 变量替换：将$x \to +\infty$转化为$t = \frac{1}{x} \to 0^+$，简化表达式。
2. 泰勒展开：对$\sqrt{1+t^2}$和$\sqrt{1-t^2}$展开到足够高阶，找到分子中的主部项。
3. 指数匹配：通过分子分母的幂次匹配，确定$a$的值，进而求出$b$。

破题关键点：

• 变量替换简化极限形式。
• 泰勒展开精确展开到四阶项，发现分子主部为$-t^4$。
• 指数平衡：要求分母$t^{a+1}$与分子$t^4$同阶，即$a+1=4$，从而确定$a=3$。

变量替换与表达式变形

令$x = \frac{1}{t}$，则当$x \to +\infty$时，$t \to 0^+$。原式变形为：
$\lim_{t \to 0^+} \frac{1}{t^a} \left[ \frac{\sqrt{1+t^2} + \sqrt{1-t^2} - 2}{t} \right] = \lim_{t \to 0^+} \frac{\sqrt{1+t^2} + \sqrt{1-t^2} - 2}{t^{a+1}}.$

泰勒展开求主部

对$\sqrt{1+t^2}$和$\sqrt{1-t^2}$展开到四阶：
$\begin{aligned}\sqrt{1+t^2} &\approx 1 + \frac{t^2}{2} - \frac{t^4}{8}, \\\sqrt{1-t^2} &\approx 1 - \frac{t^2}{2} - \frac{t^4}{8}.\end{aligned}$
相加后得：
$\sqrt{1+t^2} + \sqrt{1-t^2} \approx 2 - \frac{t^4}{4}.$
代入分子：
$\sqrt{1+t^2} + \sqrt{1-t^2} - 2 \approx -\frac{t^4}{4}.$

匹配幂次求极限

原式化简为：
$\lim_{t \to 0^+} \frac{-\frac{t^4}{4}}{t^{a+1}} = \lim_{t \to 0^+} -\frac{1}{4} t^{3-a}.$
为使极限为非零常数，需$3 - a = 0$，即$a = 3$，此时极限值为$b = -\frac{1}{4}$。