题目
4.设二维随机向量(X,Y)的联合概率密度为 f(x,y)= ,{x)^2+(y)^2lt 1, 0, = __
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定联合概率密度函数的定义域
给定的联合概率密度函数为 $f(x,y)=\left \{ \begin{matrix} \dfrac {1}{\pi },{x}^{2}+{y}^{2}\lt 1,\\ 0,\end{matrix} \right.$，这意味着随机变量 $(X,Y)$ 的取值范围在单位圆内，即 $x^2 + y^2 < 1$。
步骤 2：计算概率 $P\{ X-Y\lt 0\}$
要计算 $P\{ X-Y\lt 0\}$，即 $P\{ X < Y\}$，我们需要在单位圆内计算满足 $X < Y$ 的区域的面积。由于单位圆的面积为 $\pi$，且 $X < Y$ 的区域占单位圆的一半，因此该区域的面积为 $\frac{\pi}{2}$。
步骤 3：计算概率
根据概率密度函数的定义，$P\{ X < Y\}$ 等于该区域的面积乘以概率密度函数的值，即 $P\{ X < Y\} = \frac{\pi}{2} \times \frac{1}{\pi} = \frac{1}{2}$。
给定的联合概率密度函数为 $f(x,y)=\left \{ \begin{matrix} \dfrac {1}{\pi },{x}^{2}+{y}^{2}\lt 1,\\ 0,\end{matrix} \right.$，这意味着随机变量 $(X,Y)$ 的取值范围在单位圆内，即 $x^2 + y^2 < 1$。
步骤 2：计算概率 $P\{ X-Y\lt 0\}$
要计算 $P\{ X-Y\lt 0\}$，即 $P\{ X < Y\}$，我们需要在单位圆内计算满足 $X < Y$ 的区域的面积。由于单位圆的面积为 $\pi$，且 $X < Y$ 的区域占单位圆的一半，因此该区域的面积为 $\frac{\pi}{2}$。
步骤 3：计算概率
根据概率密度函数的定义，$P\{ X < Y\}$ 等于该区域的面积乘以概率密度函数的值，即 $P\{ X < Y\} = \frac{\pi}{2} \times \frac{1}{\pi} = \frac{1}{2}$。