题目
一批产品共20件，其中有5件是次品，其余为正品。现从这20件产品中不放回地任意抽取三次，每次只取一件，求下列事件的概率(1)在第一、第二次取到正品的条件下，第三次取到次品(2)第三次才取到次品(3)第三次取到次品
一批产品共$$20$$件，其中有$$5$$件是次品，其余为正品。现从这$$20$$件产品中不放回地任意抽取三次，每次只取一件，求下列事件的概率
(1)在第一、第二次取到正品的条件下，第三次取到次品
(2)第三次才取到次品
(3)第三次取到次品
题目解答
答案
(1)前两次取到正品，那么总共还剩$$18$$件，其中$$5$$件次品，$$P=\frac 5 {18}$$
(2)第三次才取到次品，那么前两次均取到正品，即$$P=\frac {15}{20}\cdot \frac {14}{19}\cdot \frac 5 {18}=\frac {35}{228}$$
(3)第三次取到次品，即分情况讨论
第一次正品，第二次正品，第三次次品，$$P_1=\frac {35}{228}$$
第一次正品，第二次次品，第三次次品，$$P_2=\frac {15}{20}\cdot \frac {5}{19}\cdot \frac 4 {18}=\frac 5 {114}$$
第一次次品，第二次正品，第三次次品，$$P_3=\frac 5 {20}\cdot \frac {15}{19}\cdot \frac 4 {18}=\frac {5}{114}$$
第一次次品，第二次次品，第三次次品，$$P_4=\frac 5 {20}\cdot \frac 4 {19}\cdot \frac 3{18}=\frac 1 {114}$$
那么$$P=P_1+P_2+P_3+P_4=\frac 1 4$$
解析
步骤 1：计算在第一、第二次取到正品的条件下，第三次取到次品的概率
在第一、第二次取到正品的条件下，剩余的产品中正品和次品的数量发生变化。此时，剩余的产品数量为$$18$$件，其中次品数量为$$5$$件。因此，第三次取到次品的概率为$$\frac{5}{18}$$。
步骤 2：计算第三次才取到次品的概率
第三次才取到次品意味着前两次取到的都是正品。第一次取到正品的概率为$$\frac{15}{20}$$，第二次取到正品的概率为$$\frac{14}{19}$$，第三次取到次品的概率为$$\frac{5}{18}$$。因此，第三次才取到次品的概率为$$\frac{15}{20} \cdot \frac{14}{19} \cdot \frac{5}{18}$$。
步骤 3：计算第三次取到次品的概率
第三次取到次品可以分为四种情况：第一次取到正品，第二次取到正品，第三次取到次品；第一次取到正品，第二次取到次品，第三次取到次品；第一次取到次品，第二次取到正品，第三次取到次品；第一次取到次品，第二次取到次品，第三次取到次品。每种情况的概率分别为$$\frac{15}{20} \cdot \frac{14}{19} \cdot \frac{5}{18}$$，$$\frac{15}{20} \cdot \frac{5}{19} \cdot \frac{4}{18}$$，$$\frac{5}{20} \cdot \frac{15}{19} \cdot \frac{4}{18}$$，$$\frac{5}{20} \cdot \frac{4}{19} \cdot \frac{3}{18}$$。因此，第三次取到次品的概率为这四种情况概率之和。
在第一、第二次取到正品的条件下，剩余的产品中正品和次品的数量发生变化。此时，剩余的产品数量为$$18$$件，其中次品数量为$$5$$件。因此，第三次取到次品的概率为$$\frac{5}{18}$$。
步骤 2：计算第三次才取到次品的概率
第三次才取到次品意味着前两次取到的都是正品。第一次取到正品的概率为$$\frac{15}{20}$$，第二次取到正品的概率为$$\frac{14}{19}$$，第三次取到次品的概率为$$\frac{5}{18}$$。因此，第三次才取到次品的概率为$$\frac{15}{20} \cdot \frac{14}{19} \cdot \frac{5}{18}$$。
步骤 3：计算第三次取到次品的概率
第三次取到次品可以分为四种情况：第一次取到正品，第二次取到正品，第三次取到次品；第一次取到正品，第二次取到次品，第三次取到次品；第一次取到次品，第二次取到正品，第三次取到次品；第一次取到次品，第二次取到次品，第三次取到次品。每种情况的概率分别为$$\frac{15}{20} \cdot \frac{14}{19} \cdot \frac{5}{18}$$，$$\frac{15}{20} \cdot \frac{5}{19} \cdot \frac{4}{18}$$，$$\frac{5}{20} \cdot \frac{15}{19} \cdot \frac{4}{18}$$，$$\frac{5}{20} \cdot \frac{4}{19} \cdot \frac{3}{18}$$。因此，第三次取到次品的概率为这四种情况概率之和。