题目
对角行列式} lambda_1 lambda_2 vdots lambda_n 的值为（） A. -lambda_1lambda_2...lambda_nB. lambda_1lambda_2...lambda_nC. (-1)^n(n-1)/2lambda_1lambda_2...lambda_nD. 0
对角行列式$\begin{vmatrix} \lambda_1 \\ \lambda_2 \\ \vdots \\ \lambda_n \end{vmatrix}$的值为（）
- A. $-\lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_n$
- B. $\lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_n$
- C. $(-1)^{n(n-1)/2}\lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_n$
- D. 0
题目解答
答案
为了确定对角行列式$\begin{vmatrix}\lambda_{1}&\lambda_{1}\\\vdots&\vdots\\\lambda_{n}&\lambda_{n}\end{vmatrix}$的值，我们需要理解行列式的性质。一个矩阵的行列式为零，如果矩阵的两行（或两列）相同。在给定的矩阵中，第一列和第二列完全相同，即每一行的两个元素都是$\lambda_i$。
让我们将矩阵写成更清楚的形式：
\[
\begin{vmatrix}
\lambda_1 & \lambda_1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & \lambda_2 & \lambda_2 & \cdots & 0 \\
0 & 0 & \lambda_3 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & \lambda_n
\end{vmatrix}
\]
由于第一列和第二列相同，矩阵的行列式为零。因此，正确答案是：
\[
\boxed{D}
\]
解析
考查要点：本题主要考查行列式的性质，特别是行列式为零的条件。当矩阵中存在两列（或两行）完全相同，或列（行）向量线性相关时，行列式的值为零。
解题核心思路：观察题目给出的矩阵结构，发现其列向量之间存在线性相关关系。具体来说，每列的非零元素与前一列重复，导致列向量线性相关，从而行列式为零。
破题关键点：
- 明确行列式为零的条件之一是列（行）向量线性相关。
- 识别矩阵中列向量的重复模式，判断其线性相关性。
题目给出的矩阵形式为：
$\begin{vmatrix}\lambda_1 & \lambda_1 & 0 & \cdots & 0 \\0 & \lambda_2 & \lambda_2 & \cdots & 0 \\0 & 0 & \lambda_3 & \cdots & 0 \\\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\0 & 0 & 0 & \cdots & \lambda_n\end{vmatrix}$
关键分析步骤：
-
观察列向量：
- 第1列：$\lambda_1, 0, 0, \dots, 0$
- 第2列：$\lambda_1, \lambda_2, 0, \dots, 0$
- 第3列：$0, \lambda_2, \lambda_3, \dots, 0$
- …
- 第n列：$0, 0, 0, \dots, \lambda_n$
-
发现线性相关性：
- 第1列与第2列的前两个元素相同，第2列与第3列的中间元素相同，依此类推。
- 每列的非零元素与前一列重复，导致列向量之间存在线性组合关系（例如，第2列可表示为第1列与后续元素的叠加）。
-
结论：
- 列向量线性相关，因此行列式值为0。