二元函数z=xy(3-x-y)的极值点是( )A. (0,0)B. (0,3)C. (3,0)D. (1,1)

考查要点：本题主要考查二元函数极值点的求解方法，包括驻点的求解和极值的判定。

解题核心思路：

1. 求偏导数：分别计算函数对$x$和$y$的一阶偏导数，并联立方程求解驻点。
2. 二阶导数检验：通过计算二阶偏导数，构造Hessian矩阵，判断驻点是否为极值点。

破题关键点：

• 驻点条件：一阶偏导数同时为零。
• 极值判定：利用Hessian矩阵的行列式$H$和$f_{xx}$的符号判断极大值或极小值。

步骤1：求一阶偏导数

函数为$z = xy(3 - x - y)$，展开得：
$z = 3xy - x^2y - xy^2$

对$x$求偏导：
$\frac{\partial z}{\partial x} = 3y - 2xy - y^2$

对$y$求偏导：
$\frac{\partial z}{\partial y} = 3x - x^2 - 2xy$

步骤2：求驻点

联立方程：
$\begin{cases}3y - 2xy - y^2 = 0 \\3x - x^2 - 2xy = 0\end{cases}$

代入选项验证：

• 选项D(1,1)：代入第一个方程得$3(1) - 2(1)(1) - (1)^2 = 0$，第二个方程得$3(1) - (1)^2 - 2(1)(1) = 0$，满足驻点条件。

其他选项（如A、B、C）代入后，Hessian矩阵行列式$H$不满足极大值或极小值条件，故排除。

步骤3：二阶导数检验

计算二阶偏导数：
$f_{xx} = -2y, \quad f_{xy} = 3 - 2x - 2y, \quad f_{yy} = -2x$

在点$(1,1)$处：
$f_{xx} = -2, \quad f_{xy} = -1, \quad f_{yy} = -2$

Hessian矩阵行列式：
$H = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^2 = (-2)(-2) - (-1)^2 = 4 - 1 = 3 > 0$

由于$H > 0$且$f_{xx} < 0$，故$(1,1)$为极大值点。