(3) 'sin x=yln y ,|x=dfrac (pi )(2)=e;

考查要点：本题主要考查可分离变量微分方程的解法，以及利用初始条件确定特解的能力。

解题核心思路：

1. 分离变量：将方程中的$y$项与$x$项分别移到等式两边，转化为两个变量的积分形式。
2. 积分求解：对两边分别积分，注意积分时的换元技巧。
3. 代入初始条件：确定积分常数，最终得到特解。

破题关键点：

• 识别方程类型：方程可变形为$\frac{dy}{dx} \cdot \sin x = y \ln y$，属于可分离变量方程。
• 正确分离变量：将$\frac{1}{y \ln y} dy$与$\frac{1}{\sin x} dx$分别置于等式两边。
• 积分技巧：左边需用换元法，右边需记忆$\int \frac{1}{\sin x} dx$的标准结果。

步骤1：分离变量
原方程变形为：
$\frac{1}{y \ln y} dy = \frac{1}{\sin x} dx$

步骤2：积分求解

• 左边积分：令$u = \ln y$，则$du = \frac{1}{y} dy$，得：
  $\int \frac{1}{u} du = \ln | \ln y | + C_1$
• 右边积分：利用标准积分公式$\int \frac{1}{\sin x} dx = \ln | \tan \frac{x}{2} | + C_2$，得：
  $\ln | \tan \frac{x}{2} | + C_2$
• 合并结果：
  $\ln (\ln y) = \ln (\tan \frac{x}{2}) + C$
  （合并常数为$C = C_2 - C_1$）

步骤3：代入初始条件
当$x = \frac{\pi}{2}$时，$y = e$：
$\ln (\ln e) = \ln (\tan \frac{\pi}{4}) + C \implies \ln 1 = \ln 1 + C \implies C = 0$

步骤4：整理方程
消去对数得：
$\ln y = \tan \frac{x}{2} \implies y = e^{\tan \frac{x}{2}}$