23设 x<1, 且 neq 0 时,证明: dfrac (1)(x)+dfrac (1)(ln (1-x))lt 1.

步骤 1：将不等式转换为等价形式
原不等式为 $\dfrac {1}{x}+\dfrac {1}{\ln (1-x)}\lt 1$，我们首先将不等式转换为等价形式，即
$$\dfrac {1}{x}+\dfrac {1}{\ln (1-x)}-1\lt 0$$
步骤 2：构造函数并求导
构造函数 $f(x)=\dfrac {1}{x}+\dfrac {1}{\ln (1-x)}-1$，我们需要求出 $f(x)$ 的导数 $f'(x)$，以分析函数的单调性。
$$f'(x)=-\dfrac {1}{x^2}+\dfrac {1}{(1-x)(\ln (1-x))^2}$$
步骤 3：分析导数的符号
我们需要分析 $f'(x)$ 的符号，以确定 $f(x)$ 的单调性。由于 $x\lt 1$ 且 $x\neq 0$，我们可以分情况讨论：
- 当 $x\lt 0$ 时，$-\dfrac {1}{x^2}\lt 0$，$\dfrac {1}{(1-x)(\ln (1-x))^2}\gt 0$，因此 $f'(x)\lt 0$，$f(x)$ 单调递减。
- 当 $0\lt x\lt 1$ 时，$-\dfrac {1}{x^2}\lt 0$，$\dfrac {1}{(1-x)(\ln (1-x))^2}\gt 0$，因此 $f'(x)\lt 0$，$f(x)$ 单调递减。
步骤 4：验证 $f(x)$ 的值
由于 $f(x)$ 在 $x\lt 1$ 且 $x\neq 0$ 的区间内单调递减，我们可以验证 $f(0)$ 的值，以确定 $f(x)$ 的符号。
$$f(0)=\dfrac {1}{0}+\dfrac {1}{\ln (1-0)}-1=\dfrac {1}{0}+0-1$$
由于 $f(0)$ 不存在，我们可以得出结论：$f(x)\lt 0$，即 $\dfrac {1}{x}+\dfrac {1}{\ln (1-x)}\lt 1$。