题目

将直角坐标系中的二次积分I=int_(0)^1dyint_(y)^2-yf(x,y)dx化为极坐标系中的二次积分，则I=()A. I=int_(0)^(pi)/(4)dthetaint_(0)^(2)/(sintheta+costheta)rho f(rhocostheta,rhosintheta)drhoB. I=int_(0)^(pi)/(4)dthetaint_(0)^(2)/(sintheta+costheta)f(rhocostheta,rhosintheta)drhoC. I=int_((pi)/(4))^(pi)/(2)dthetaint_(0)^(2)/(sintheta+costheta)rho f(rhocostheta,rhosintheta)drhoD. I=int_(0)^(pi)/(4)dthetaint_(0)^(2)/(sintheta)rho f(rhocostheta,rhosintheta)drho

将直角坐标系中的二次积分$I=\int_{0}^{1}dy\int_{y}^{2-y}f(x,y)dx$化为极坐标系中的二次积分，则$I=$()

A. $I=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}d\theta\int_{0}^{\frac{2}{\sin\theta+\cos\theta}}\rho f(\rho\cos\theta,\rho\sin\theta)d\rho$

B. $I=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}d\theta\int_{0}^{\frac{2}{\sin\theta+\cos\theta}}f(\rho\cos\theta,\rho\sin\theta)d\rho$

C. $I=\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}d\theta\int_{0}^{\frac{2}{\sin\theta+\cos\theta}}\rho f(\rho\cos\theta,\rho\sin\theta)d\rho$

D. $I=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}d\theta\int_{0}^{\frac{2}{\sin\theta}}\rho f(\rho\cos\theta,\rho\sin\theta)d\rho$

题目解答

答案

A. $I=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}d\theta\int_{0}^{\frac{2}{\sin\theta+\cos\theta}}\rho f(\rho\cos\theta,\rho\sin\theta)d\rho$

解析

本题考查将直角坐标系下的二次积分转化为极坐标系下的二次积分，解题思路如下：

首先根据直角坐标系下的积分限确定积分区域 $D$ 的边界。
然后将直角坐标与极坐标的转换关系 $x = \rho\cos\theta$，$y = \rho\sin\theta$ 代入边界方程，确定极坐标系下的积分限。
最后根据极坐标系下的面积元素 $d\sigma=\rho d\rho d\theta$ 完成积分形式的转换。

步骤一：确定积分区域 $D$ 的边界

已知直角坐标系中的二次积分$I=\int_{0}^{1}dy\int_{y}^{2-y}f(x,y)dx$，积分区域 $D$ 由以下不等式确定：
$0\leq y\leq 1$，$y\leq x\leq 2 - y$。
边界曲线分别为 $y = 0$，$x = y$，$x = 2 - y$。

步骤二：将直角坐标转换为极坐标

在极坐标系中，$x = \rho\cos\theta$，$y = \rho\sin\theta$。

对于直线 $x = y$，将 $x = \rho\cos\theta$，$y = \rho\sin\theta$ 代入可得：
$\rho\cos\theta = \rho\sin\theta$，因为 $\rho\neq0$（在积分区域内），所以 $\tan\theta = 1$，解得 $\theta = \frac{\pi}{4}$。
对于直线 $y = 0$，将 $y = \rho\sin\theta$ 代入可得：
$\rho\sin\theta = 0$，因为 $\rho\geq0$，所以 $\sin\theta = 0$，解得 $\theta = 0$。
对于直线 $x = 2 - y$，将 $x = \rho\cos\theta$，$y = \rho\sin\theta$ 代入可得：
$\rho\cos\theta = 2 - \rho\sin\theta$，移项可得 $\rho(\cos\theta + \sin\theta) = 2$，则 $\rho = \frac{2}{\sin\theta + \cos\theta}$。

步骤三：确定极坐标系下的积分限

由上述分析可知，$\theta$ 的取值范围是从 $0$ 到 $\frac{\pi}{4}$，即 $0\leq\theta\leq\frac{\pi}{4}$；$\rho$ 的取值范围是从 $0$ 到 $\frac{2}{\sin\theta + \cos\theta}$，即 $0\leq\rho\leq\frac{2}{\sin\theta + \cos\theta}$。

步骤四：完成积分形式的转换

在极坐标系下，面积元素 $d\sigma=\rho d\rho d\theta$，所以原积分 $I$ 化为极坐标系中的二次积分为：
$I=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}d\theta\int_{0}^{\frac{2}{\sin\theta+\cos\theta}}\rho f(\rho\cos\theta,\rho\sin\theta)d\rho$