int dfrac (x+1)({x)^2+x+1}dx.

考查要点：本题主要考查分式积分的解法，涉及分子拆分、分母配方以及标准积分公式的应用。

解题核心思路：

1. 分子拆分：将分子表达为分母的导数与常数的组合，便于拆分积分。
2. 分项积分：将原积分拆分为两个更简单的积分之和。
3. 分母配方：对二次分母进行配方，转化为标准形式，应用反正切积分公式。

破题关键点：

• 识别分母的导数：分母为$x^2 + x + 1$，其导数为$2x + 1$，与分子$x + 1$存在线性关系。
• 配方处理：将分母配方为$(x + \frac{1}{2})^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2$，匹配标准积分形式。

步骤1：分子拆分
将分子$x + 1$拆分为分母导数$2x + 1$的线性组合：
$x + 1 = \frac{1}{2}(2x + 1) + \frac{1}{2}$
因此，原积分可拆分为：
$\int \frac{x+1}{x^2 + x + 1} dx = \frac{1}{2} \int \frac{2x + 1}{x^2 + x + 1} dx + \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^2 + x + 1} dx$

步骤2：计算第一项积分
第一项积分$\frac{1}{2} \int \frac{2x + 1}{x^2 + x + 1} dx$中，分子为分母的导数，直接积分得：
$\frac{1}{2} \ln|x^2 + x + 1| + C_1$

步骤3：配方处理第二项积分
对分母$x^2 + x + 1$配方：
$x^2 + x + 1 = \left(x + \frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2$
因此，第二项积分变为：
$\frac{1}{2} \int \frac{1}{\left(x + \frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} dx$

步骤4：应用反正切积分公式
标准积分公式$\int \frac{1}{u^2 + a^2} du = \frac{1}{a} \arctan\left(\frac{u}{a}\right) + C$，代入得：
$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} \arctan\left(\frac{2x + 1}{\sqrt{3}}\right) + C_2 = \frac{1}{\sqrt{3}} \arctan\left(\frac{2x + 1}{\sqrt{3}}\right) + C_2$

步骤5：合并结果
综合两部分结果，最终积分结果为：
$\frac{1}{2} \ln(x^2 + x + 1) + \frac{1}{\sqrt{3}} \arctan\left(\frac{2x + 1}{\sqrt{3}}\right) + C$