题目
9. (9.0分) 对弧长的曲线积分 int_(L)(x+y)ds=(),其中L为连接(0,0)及(1,1)两点的直线段。A. sqrt(2)B. 3C. 0D. 1
9. (9.0分) 对弧长的曲线积分 $\int_{L}(x+y)ds$=(),其中L为连接(0,0)及(1,1)两点的直线段。
A. $\sqrt{2}$
B. 3
C. 0
D. 1
题目解答
答案
A. $\sqrt{2}$
解析
步骤 1：参数化直线段
直线段 $L$ 的方程为 $y = x$，可以参数化为 $x = t$，$y = t$，其中 $0 \le t \le 1$。
步骤 2：计算弧长元素
弧长元素 $ds = \sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2} \, dt = \sqrt{1^2 + 1^2} \, dt = \sqrt{2} \, dt$。
步骤 3：代入曲线积分
代入曲线积分得：\[ \int_{L} (x + y) \, ds = \int_{0}^{1} (t + t) \sqrt{2} \, dt = 2\sqrt{2} \int_{0}^{1} t \, dt = 2\sqrt{2} \cdot \frac{1}{2} = \sqrt{2} \]
直线段 $L$ 的方程为 $y = x$，可以参数化为 $x = t$，$y = t$，其中 $0 \le t \le 1$。
步骤 2：计算弧长元素
弧长元素 $ds = \sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2} \, dt = \sqrt{1^2 + 1^2} \, dt = \sqrt{2} \, dt$。
步骤 3：代入曲线积分
代入曲线积分得：\[ \int_{L} (x + y) \, ds = \int_{0}^{1} (t + t) \sqrt{2} \, dt = 2\sqrt{2} \int_{0}^{1} t \, dt = 2\sqrt{2} \cdot \frac{1}{2} = \sqrt{2} \]