题目

1.设A,B均为n阶方阵,则下列等式成立的是 .-|||-A. |A+B|=|A|+|B| B. |AB|=|BA|-|||-C. |AB|=n|A||B| D. |kA|=k|A|

题目解答

答案

解析

本题考查矩阵行列式的性质，需掌握以下关键点：

  1. 行列式的加法性质不成立，即|A+B| ≠ |A| + |B|；
  2. 乘法交换性：|AB| = |BA|，无论矩阵是否可逆；
  3. 行列式的乘积性质：|AB| = |A||B|，无额外系数；
  4. 标量乘法性质：|kA| = k^n |A|，其中n为矩阵阶数。

选项分析

A. |A+B|=|A|+|B|

  • 错误。行列式对加法无线性性质。例如，若A=I, B=I（I为单位矩阵），则|A+B|=|2I|=2^n，而|A|+|B|=1+1=2（当n≠1时显然不等）。

B. |AB|=|BA|

  • 正确。根据行列式性质，AB与BA的行列式始终相等。即使AB与BA的秩不同，其非零特征值的乘积仍相等。

C. |AB|=n|A||B|

  • 错误。正确公式为|AB|=|A||B|，无n因子。例如，A=B=I（2阶单位矩阵），则|AB|=1，而n|A||B|=2×1×1=2，不等。

D. |kA|=k|A|

  • 错误。正确公式为|kA|=k^n |A|。例如，A=I（2阶单位矩阵），k=3，则|kA|=9，而k|A|=3×1=3，不等。