一、选择题：每题5分，共20分 1.当x→0时，若α(x)，β(x)都是无穷小量，以下命题正确的是（）。A. 若α²(x)~β²(x)，则α(x²)~β(x²)B. 若α(x²)~β(x²)，则α²(x)~β²(x)C. 若α(x)~β(x)，则α(x)-β(x)=o(α(x))D. 若α(x)~β(x)，则α(x)+β(x)=2α(x)

本题主要考察无穷小量等价替换的性质及相关概念，需逐一分析各选项的正确性：

选项A：若$\alpha^2(x)\sim\beta^2(x)\，则\(\alpha(x^2)\sim\beta(x^2)$

反例：设$\alpha(x)=x$，$\beta(x)=-x$。当$x\to0$时，$\alpha^2(x)=x^2$，$\beta^2(x)=x^2$，显然$\alpha^2(x)\sim\beta^2(x)$。但$\alpha(x^2)=x^2$，$\beta(x^2)=-x^2$，此时$\lim_{x\to0}\frac{\alpha(x^2)}{\beta(x^2)}=\lim_{x\to0}\frac{x^2}{-x^2}=-1\neq1$，故$\alpha(x^2)\nsim\beta(x^2)$，A错误。

选项B：若$\alpha(x^2)\sim\beta(x^2)\，则\(\alpha^2(x)\sim\beta^2(x)$

反例：设$\alpha(x)=x^2$，$\beta(x)=x$。当$x\to0$时，$\alpha(x^2)=(x^2)^2=x^4$，$\beta(x^2)=x^2$，此时$\lim_{x\to0}\frac{\alpha(x^2)}{\beta(x^2)}=\lim_{x\to0}\frac{x^4}{x^2}=0\neq1$，故$\alpha(x^2)\nsim\beta(x^2)$，B错误。

选项C：若$\alpha(x)\sim\beta(x)\，则\(\alpha(x)-\beta(x)=o(\alpha(x))$

由等价无穷小定义：$\alpha(x)\sim\beta(x)\implies\lim_{x\to0}\frac{\alpha(x)-\beta(x)}{\alpha(x)}=\lim_{x\to0}\left(\frac{\alpha(x)}{\alpha(x)}-\frac{\beta(x)}{\alpha(x)}\right)=\lim_{x\to0}(1-1)=0$，根据高阶无穷小定义$\alpha(x)-\beta(x)=o(\alpha(x))$，C正确。

选项D：若$\alpha(x)\sim\beta(x)\，则\(\alpha(x)+\beta(x)=2\alpha(x)$

反例：设$\alpha(x)=x$，$\beta(x)=x+x^2$（$x\to0$时$\alpha(x)\sim\beta(x)$），$\alpha(x)+\beta(x)=2x+x^2$，$2\alphaalpha(x)=2x$，显然$2x+x^2\neq2x$，D错误。