题目

int tan x d(tan x)=

$\int \tan x d(\tan x)=$

题目解答

答案

将 $\tan x$ 视为变量 $u$，则 $d(\tan x) = du$。 原积分变为 $\int u \, du = \frac{u^2}{2} + C$。 将 $u$ 替换为 $\tan x$，得 $\frac{1}{2} \tan^2 x + C$。 或者，使用微分关系 $d(\tan x) = \sec^2 x \, dx$， 原积分化为 $\int \tan x \sec^2 x \, dx$。 令 $u = \cos x$，则 $\tan x \sec^2 x = -\frac{1}{u^3}$， 积分得 $\frac{1}{2u^2} + C = \frac{1}{2} \sec^2 x + C = \frac{1}{2} \tan^2 x + C$。 **答案：** $\boxed{\frac{1}{2} \tan^2 x + C}$

解析

本题考查不定积分的计算，，解题思路是通过换元法将复杂的积分转化为简单的形式进行求解。

  • **方法一：
    • 把$\tan x$看作一个整体变量$u$，即令$u = \tan x$。
    • 根据换元的规则规则，此时$d(\tan x)=du$。
    • 那么原积分$\int \tan x d(\tan x)$就变为$\intint u du$。
    • 根据不定积分的基本公式$\int x^n dx=\frac{x^{n + 1}}{n+1}+C$（$n\neq - 1$），对于$\int u du$，这里$n = 1$，则$\int u du=\frac{u}^{1 + 1}\div(1 + 1)+C=\frac{u^2}{2}+C$。
    • 最后再把$u=\tan x$代回，得到$\frac{1}{2}\tan^2 x + C$。
  • **方法二：
    • 利用微分关系$d(\tan x)=\sec^2 xdx$，将原积分$\int \tan x d(\tan x)$化为$\int \tan x\sec^2 xdx$。
    • 令$令\(u = \cos x$，则$du=-\sin xdx$。
    • 因为$\tan x\sec^2 x=\frac{\sin x}{\cos^2 x}\cdot\frac{1}{\cos^2 x}=-\frac{1}{u^3}{}$。
    • 那么$\int \tan x\sec^2 xdx=\int -\frac{1}{u^3}du$。
    • 根据不定积分公式$\int x^n dx=\frac{x^{n + 1}}{n+1}+C$（$n\neq -1$），对于$\int -\frac{1}{u^3}du=-\int u^{-3}du=- \frac{u^{-3 + 1}}{-3 + 1}+C=\frac{1}{2u^2}+C$。
    • 把$u = \cos x$代回，得到$\frac{1}{2\cos^2 x}+C$。
    • 又因为$\sec x=\frac{1}{\cos x}$，所以$\frac{1}{2\cos^2 x}+C=\frac{1}{2}\sec^2 x + C$。
    • 再根据三角函数的平方关系$\sec^2 x = 1+\tan^2 x$，可得$\frac{1}{2}\sec^2 x}+C=\frac{1}{2}(1 + \tan^2 x)+C=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\tan^2 x + C$，由于$\frac{1}{2}$是常数，可并入常数$C$中，结果仍为$\frac{1}{2}\tan^2 x + C$。