1.在 (-infty ,0) 上,下列函数中无界的函数是 ()-|||-(A) =(2)^x; (B) =arctan x; (C) =dfrac (1)({x)^2+1}; (D) =dfrac (1)(x)

本题考查函数有界性的判定。解题思路是根据函数有界性的定义，对于给定区间内的函数，如果存在一个正数 $M$，使得对于该区间内的所有 $x$，都有 $|f(x)| \leq M$，则称函数 $f(x)$ 在该区间上有界；反之，如果不存在这样的正数 $M$，则称函数 $f(x)$ 在该区间上无界。我们需要分别分析每个选项中函数在区间 $(-\infty, 0)$ 上的取值范围。

选项A

对于函数 $y = 2^x$，指数函数的性质为：当底数 $a>1$ 时，函数在 $R$ 上单调递增。
因为 $y = 2^x$ 中底数 $2>1$，所以 $y = 2^x$ 在 $(-\infty, 0)$ 上单调递增。
当 $x$ 趋近于 $-\infty$ 时，$\lim\limits_{x \to -\infty} 2^x = 0$；当 $x = 0$ 时，$2^0 = 1$。
所以在区间 $(-\infty, 0)$ 上，$0 < 2^x < 1$，即存在 $M = 1$，使得 $|2^x| < 1 \leq M$，所以函数 $y = 2^x$ 在 $(-\infty, 0)$ 上有界。

选项B

对于函数 $y = \arctan x$，反正切函数的定义域为 $R$，值域为 $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$。
因为反正切函数在 $R$ 上单调递增，当 $x$ 趋近于 $-\infty$ 时，$\lim\limits_{x \to -\infty} \arctan x = -\frac{\pi}{2}$；当 $x = 0$ 时，$\arctan 0 = 0$。
所以在区间 $(-\infty, 0)$ 上，$-\frac{\pi}{2} < \arctan x < 0$，即存在 $M = \frac{\pi}{2}$，使得 $|\arctan x| < \frac{\pi}{2} \leq M$，所以函数 $y = \arctan x$ 在 $(-\infty, 0)$ 上有界。

选项C

对于函数 $y = \frac{1}{x^2 + 1}$，因为 $x^2 \geq 0$，所以 $x^2 + 1 \geq 1$。
则 $0 < \frac{1}{x^2 + 1} \leq 1$，即存在 $M = 1$，使得 $|\frac{1}{x^2 + 1}| \leq 1 \leq M$，所以函数 $y = \frac{1}{x^2 + 1}$ 在 $(-\infty, 0)$ 上有界。

选项D

对于函数 $y = \frac{1}{x}$，当 $x$ 趋近于 $0^-$ 时，$\lim\limits_{x \to 0^-} \frac{1}{x} = -\infty$。
这意味着无论取多大的正数 $M$，总存在 $x$ 足够接近 $0$（且 $x<0$），使得 $|\frac{1}{x}| > M$，所以函数 $y = \frac{1}{x}$ 在 $(-\infty, 0)$ 上无界。