2【例4】(2012,数二)过点(0,1)作曲线L:y=ln x的切线,切点为A,又L与x轴交于B，区域D由L与直线AB围成.求区域D的面积及D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积.

1. **求切点 $A$ 的坐标：** 设切点 $A(x_1, y_1)$，则 $y_1 = \ln x_1$。切线斜率 $k = \frac{1}{x_1}$，切线方程为 $y - \ln x_1 = \frac{1}{x_1}(x - x_1)$。过点 $(0,1)$，代入得 $1 - \ln x_1 = -1$，解得 $x_1 = e^2$，$y_1 = 2$。 **切点 $A(e^2, 2)$。** 2. **求直线 $AB$ 的方程：** 点 $B(1,0)$，斜率 $k = \frac{2-0}{e^2-1}$，方程为 $y = \frac{2}{e^2-1}(x-1)$。 3. **求区域 $D$ 的面积：** 面积为曲线 $y = \ln x$ 与直线 $AB$ 从 $x=1$ 到 $x=e^2$ 之间的面积。 \[ \text{面积} = \int_1^{e^2} \ln x \, dx - \frac{1}{2} \times (e^2-1) \times 2 = (e^2+1) - (e^2-1) = 2. \] **面积为 $2$。** 4. **求旋转体体积：** 体积为曲线 $y = \ln x$ 与直线 $AB$ 绕 $x$ 轴旋转的体积之差。 \[ \text{体积} = \pi \int_1^{e^2} (\ln x)^2 \, dx - \frac{1}{3} \pi \times 2^2 \times (e^2-1) = \frac{2\pi}{3}(e^2-1). \] **体积为 $\frac{2\pi}{3}(e^2-1)$。** **答案：** 面积为 $\boxed{2}$，体积为 $\boxed{\frac{2\pi}{3}(e^2-1)}$。