题目
(4)下列各组函数中线性无关的一组是 ()-|||-(A) _(1)=ln x , _(2)=ln (x)^2 (B) _(1)=1 , _(2)=ln x-|||-(C) _(1)=x , _(2)=ln (2)^x (D) _(1)=ln sqrt (x) , _(2)=ln (x)^2
题目解答
答案
解析
步骤 1：分析选项 (A)
${y}_{1}=\ln x$ 和 ${y}_{2}=\ln {x}^{2}$，根据对数的性质，${y}_{2}=\ln {x}^{2}=2\ln x=2{y}_{1}$，所以 ${y}_{1}$ 和 ${y}_{2}$ 线性相关。
步骤 2：分析选项 (B)
${y}_{1}=1$ 和 ${y}_{2}=\ln x$，这两个函数没有常数倍关系，所以 ${y}_{1}$ 和 ${y}_{2}$ 线性无关。
步骤 3：分析选项 (C)
${y}_{1}=x$ 和 ${y}_{2}=\ln {2}^{x}$，根据对数的性质，${y}_{2}=\ln {2}^{x}=x\ln 2$，所以 ${y}_{1}$ 和 ${y}_{2}$ 线性相关。
步骤 4：分析选项 (D)
${y}_{1}=\ln \sqrt {x}$ 和 ${y}_{2}=\ln {x}^{2}$，根据对数的性质，${y}_{1}=\ln \sqrt {x}=\frac{1}{2}\ln x$，${y}_{2}=\ln {x}^{2}=2\ln x$，所以 ${y}_{1}$ 和 ${y}_{2}$ 线性相关。
${y}_{1}=\ln x$ 和 ${y}_{2}=\ln {x}^{2}$，根据对数的性质，${y}_{2}=\ln {x}^{2}=2\ln x=2{y}_{1}$，所以 ${y}_{1}$ 和 ${y}_{2}$ 线性相关。
步骤 2：分析选项 (B)
${y}_{1}=1$ 和 ${y}_{2}=\ln x$，这两个函数没有常数倍关系，所以 ${y}_{1}$ 和 ${y}_{2}$ 线性无关。
步骤 3：分析选项 (C)
${y}_{1}=x$ 和 ${y}_{2}=\ln {2}^{x}$，根据对数的性质，${y}_{2}=\ln {2}^{x}=x\ln 2$，所以 ${y}_{1}$ 和 ${y}_{2}$ 线性相关。
步骤 4：分析选项 (D)
${y}_{1}=\ln \sqrt {x}$ 和 ${y}_{2}=\ln {x}^{2}$，根据对数的性质，${y}_{1}=\ln \sqrt {x}=\frac{1}{2}\ln x$，${y}_{2}=\ln {x}^{2}=2\ln x$，所以 ${y}_{1}$ 和 ${y}_{2}$ 线性相关。