题目
(5分)两个带等量异号电荷的均匀带电同心球面,半径分别为R1=0.03 m和R2=0.10 m.已知两者的电势差为450 V,求内球面上所带的电荷.
(5分)两个带等量异号电荷的均匀带电同心球面,半径分别为R1=0.03 m和R2=0.10 m.已知两者的电势差为450 V,求内球面上所带的电荷.
题目解答
答案
解:设内球上所带电荷为Q,则两球间的电场强度的大小为
(R1<r<R2) 1分
两球的电势差 
2分
∴ 
=2.14×10 - C 2分
解析
步骤 1：确定电场强度
在两个同心球面之间，电场强度的大小为
\[ E(r) = \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0 r^2} \]
其中，\(Q\) 是内球面上所带的电荷量，\(r\) 是距离球心的距离，\(\varepsilon_0\) 是真空介电常数。
步骤 2：计算电势差
电势差 \(U_{12}\) 可以通过电场强度的积分来计算，即
\[ U_{12} = \int_{R_1}^{R_2} E(r) dr = \int_{R_1}^{R_2} \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0 r^2} dr \]
\[ U_{12} = \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0} \int_{R_1}^{R_2} \frac{dr}{r^2} \]
\[ U_{12} = \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0} \left( -\frac{1}{r} \right) \Bigg|_{R_1}^{R_2} \]
\[ U_{12} = \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0} \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) \]
步骤 3：求解电荷量
根据已知的电势差 \(U_{12} = 450 V\)，可以求解出内球面上所带的电荷量 \(Q\)。
\[ Q = \frac{4\pi \varepsilon_0 R_1 R_2 U_{12}}{R_2 - R_1} \]
代入已知数值 \(R_1 = 0.03 m\)，\(R_2 = 0.10 m\)，\(U_{12} = 450 V\)，\(\varepsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12} C^2/N \cdot m^2\)，计算得到
\[ Q = \frac{4\pi \times 8.85 \times 10^{-12} \times 0.03 \times 0.10 \times 450}{0.10 - 0.03} \]
\[ Q = 2.14 \times 10^{-8} C \]
在两个同心球面之间，电场强度的大小为
\[ E(r) = \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0 r^2} \]
其中，\(Q\) 是内球面上所带的电荷量，\(r\) 是距离球心的距离，\(\varepsilon_0\) 是真空介电常数。
步骤 2：计算电势差
电势差 \(U_{12}\) 可以通过电场强度的积分来计算，即
\[ U_{12} = \int_{R_1}^{R_2} E(r) dr = \int_{R_1}^{R_2} \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0 r^2} dr \]
\[ U_{12} = \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0} \int_{R_1}^{R_2} \frac{dr}{r^2} \]
\[ U_{12} = \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0} \left( -\frac{1}{r} \right) \Bigg|_{R_1}^{R_2} \]
\[ U_{12} = \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0} \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) \]
步骤 3：求解电荷量
根据已知的电势差 \(U_{12} = 450 V\)，可以求解出内球面上所带的电荷量 \(Q\)。
\[ Q = \frac{4\pi \varepsilon_0 R_1 R_2 U_{12}}{R_2 - R_1} \]
代入已知数值 \(R_1 = 0.03 m\)，\(R_2 = 0.10 m\)，\(U_{12} = 450 V\)，\(\varepsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12} C^2/N \cdot m^2\)，计算得到
\[ Q = \frac{4\pi \times 8.85 \times 10^{-12} \times 0.03 \times 0.10 \times 450}{0.10 - 0.03} \]
\[ Q = 2.14 \times 10^{-8} C \]