设 u, v, w 是 3 个 3 维列向量，其中 u, v 线性无关，3 阶矩阵 A 满足 Au = v, Av = u, Aw = u + v + w。则（ ）。A. u + v, w, u - v 线性相关，r(A^2026 - E) = 1。B. u + v, w, u - v 线性相关，r(A^2026 - E) = 2。C. u + v, w, u - v 线性无关，r(A^2026 - E) = 1。D. u + v, w, u - v 线性无关，r(A^2026 - E) = 2。

我们来逐步分析这道题： --- ## **题目分析：** 给定： - $ u, v, w $ 是三维列向量； - $ u, v $ 线性无关； - 矩阵 $ A $ 满足： $$ Au = v, \quad Av = u, \quad Aw = u + v + w $$ 要求判断： - $ u + v, w, u - v $ 是否线性相关； - $ \operatorname{rank}(A^{2026} - E) $ 的值，其中 $ E $ 是单位矩阵。 --- ## **第一步：构造矩阵 $ A $** 由于 $ A $ 是 3 阶矩阵，且作用在三维空间中，我们可以用 $ u, v, w $ 作为基底（注意：$ u, v $ 线性无关，所以 $ u, v, w $ 可能线性相关也可能不相关，但至少能张成一个三维空间），构造矩阵 $ A $ 的表示。 设： - $ A u = v $ - $ A v = u $ - $ A w = u + v + w $ 这说明在基底 $ \{u, v, w\} $ 下，矩阵 $ A $ 的表示为： $$ A = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} $$ **解释：** - 第一列：$ A u = v \Rightarrow A_{:,1} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} $ - 第二列：$ A v = u \Rightarrow A_{:,2} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} $ - 第三列：$ A w = u + v + w \Rightarrow A_{:,3} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} $ --- ## **第二步：判断 $ u + v, w, u - v $ 是否线性相关** 我们判断三个向量是否线性相关，可以看它们是否线性组合为零： 设： $$ a(u + v) + b w + c(u - v) = 0 $$ 整理得： $$ (a + c)u + (a - c)v + b w = 0 $$ 由于 $ u, v $ 线性无关，且 $ w $ 是第三个向量，若 $ w $ 与 $ u, v $ 线性无关，则三个向量线性无关。 但题目没有说 $ w $ 是否与 $ u, v $ 线性无关，所以我们需要从矩阵的秩来判断。 矩阵 $ A $ 的秩是 3，因为它的行列式不为零（可以验证），说明 $ u, v, w $ 是线性无关的。 因此，$ u + v, w, u - v $ 也是线性无关的。 --- ## **第三步：计算 $ A^{2026} - E $ 的秩** 我们先分析 $ A $ 的幂次行为。 观察 $ A $ 的结构： $$ A = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} $$ 我们尝试计算 $ A^2 $： $$ A^2 = A \cdot A = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} $$ 继续计算 $ A^3 $： $$ A^3 = A^2 \cdot A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 3 \\ 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} $$ 可以看出，规律是： - $ A^n $ 的前两列在 $ n $ 为偶数时是 $ \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} $，奇数时是 $ \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} $； - 第三列的前两个元素为 $ n $，第三个元素为 1。 所以： $$ A^{2026} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2026 \\ 0 & 1 & 2026 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} $$ 那么： $$ A^{2026} - E = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 2026 \\ 0 & 0 & 2026 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} $$ 这个矩阵的秩是 1，因为只有第三列非零，且两行相同。 --- ## **结论：** - $ u + v, w, u - v $ 线性无关； - $ \operatorname{rank}(A^{2026} - E) = 1 $ --- ## **正确答案是：** $$ \boxed{\text{C. } u + v, w, u - v \text{ 线性无关，} r(A^{2026} - E) = 1} $$