下列各题中, 函数 f(x) 和 g(x) 是否相同? 为什么?(1) f(x) = lg x^2, g(x) = 2 lg x;(2) f(x) = x, g(x) = sqrt(x^2);(3) f(x) = sqrt[3](x^4 - x^3), g(x) = x sqrt[3](x-1);(4) f(x) = 1, g(x) = sec^2 x - tan^2 x.

我们逐题分析函数 $ f(x) $ 和 $ g(x) $ 是否相同。两个函数相同的充分必要条件是：

1. 定义域相同；
2. 对应法则相同（即在定义域内，对任意 $ x $，都有 $ f(x) = g(x) $）。

(1) $ f(x) = \lg x^2 $，$ g(x) = 2 \lg x $

分析：

• 定义域分析：

  • $ f(x) = \lg x^2 $：由于 $ x^2 > 0 $ 对所有 $ x \ne 0 $ 成立，所以定义域是 $ (-\infty, 0) \cup (0, +\infty) $。
  • $ g(x) = 2 \lg x $：要求 $ x > 0 $，因为对数函数 $ \lg x $ 的定义域是 $ x > 0 $，所以定义域是 $ (0, +\infty) $。

  ⇒ 两者定义域不同（$ f(x) $ 在负数有定义，$ g(x) $ 没有）。

• 表达式关系：

  虽然在 $ x > 0 $ 时，$ \lg x^2 = 2 \lg x $，所以在这个区间内两者相等。

  但在 $ x < 0 $ 时，$ f(x) = \lg x^2 = \lg (x^2) = 2 \lg |x| $，而 $ g(x) $ 无定义。

结论：

定义域不同，因此 $ f(x) $ 与 $ g(x) $ 不相同。

> 答案：不相同，因为定义域不同。

(2) $ f(x) = x $，$ g(x) = \sqrt{x^2} $

分析：

• $ f(x) = x $：定义域为全体实数 $ \mathbb{R} $。

• $ g(x) = \sqrt{x^2} $：由于平方根非负，$ \sqrt{x^2} = |x| $，所以 $ g(x) = |x| $，定义域也是 $ \mathbb{R} $。

• 比较函数值：

  • 当 $ x \ge 0 $，$ g(x) = |x| = x = f(x) $
  • 当 $ x < 0 $，$ g(x) = |x| = -x $，而 $ f(x) = x $，例如 $ x = -1 $，则 $ f(-1) = -1 $，$ g(-1) = 1 $，不相等。

结论：

虽然定义域相同，但对应法则不同（$ f(x) = x $，$ g(x) = |x| $），因此 函数不相同。

> 答案：不相同，因为函数值不同（例如 $ x = -1 $ 时 $ f(-1) = -1 \ne 1 = g(-1) $）。

(3) $ f(x) = \sqrt[3]{x^4 - x^3} $，$ g(x) = x \sqrt[3]{x - 1} $

分析：

• 首先，立方根 $ \sqrt[3]{\cdot} $ 在实数范围内对所有实数都有定义，且是奇函数。

• 化简 $ f(x) $：

  $f(x) = \sqrt[3]{x^4 - x^3} = \sqrt[3]{x^3(x - 1)} = \sqrt[3]{x^3} \cdot \sqrt[3]{x - 1}$

  因为立方根满足 $ \sqrt[3]{a b} = \sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[3]{b} $，所以：

  $f(x) = x \cdot \sqrt[3]{x - 1}$

  而这正是 $ g(x) $。

• 定义域：两者都对所有实数 $ x $ 有定义（立方根无限制），所以定义域都是 $ \mathbb{R} $。

• 表达式化简后完全相同。

结论：

定义域相同，且在所有 $ x $ 上 $ f(x) = g(x) $，因此 函数相同。

> 答案：相同，因为 $ f(x) = \sqrt[3]{x^3(x - 1)} = x \sqrt[3]{x - 1} = g(x) $，且定义域均为 $ \mathbb{R} $。

(4) $ f(x) = 1 $，$ g(x) = \sec^2 x - \tan^2 x $

分析：

• $ f(x) = 1 $：常数函数，定义域为全体实数 $ \mathbb{R} $。

• $ g(x) = \sec^2 x - \tan^2 x $：

  利用三角恒等式：

  $\sec^2 x = 1 + \tan^2 x \quad \Rightarrow \quad \sec^2 x - \tan^2 x = 1$

  所以形式上 $ g(x) = 1 $，但需要注意 定义域。

• $ \sec x = \frac{1}{\cos x} $，在 $ \cos x = 0 $ 时无定义，即当 $ x = \frac{\pi}{2} + k\pi $，$ k \in \mathbb{Z} $ 时，$ g(x) $ 无定义。

  因此，$ g(x) $ 的定义域是 $ x \ne \frac{\pi}{2} + k\pi $，$ k \in \mathbb{Z} $。

• 而 $ f(x) = 1 $ 在这些点是有定义的。

结论：

虽然在 $ g(x) $ 有定义的地方 $ g(x) = 1 $，但定义域不同（$ f(x) $ 处处有定义，$ g(x) $ 有间断点），所以 函数不相同。

> 答案：不相同，因为定义域不同（$ g(x) $ 在 $ \cos x = 0 $ 处无定义，而 $ f(x) $ 处处有定义）。

最终答案总结：

(1) 不相同，因为定义域不同（$ f(x) $ 定义于 $ x \ne 0 $，$ g(x) $ 仅定义于 $ x > 0 $）。

(2) 不相同，因为函数值不同（$ f(x) = x $，$ g(x) = |x| $，在 $ x < 0 $ 时不等）。

(3) 相同，因为 $ f(x) = \sqrt[3]{x^3(x - 1)} = x \sqrt[3]{x - 1} = g(x) $，且定义域均为 $ \mathbb{R} $。

(4) 不相同，因为定义域不同（$ g(x) $ 在 $ x = \frac{\pi}{2} + k\pi $ 处无定义，而 $ f(x) $ 处处有定义）。

最终答案：

$\boxed{ \begin{aligned}&(1)\ \text{不相同，定义域不同}；\\&(2)\ \text{不相同，函数值不同}；\\&(3)\ \text{相同，表达式与定义域均相同}；\\&(4)\ \text{不相同，定义域不同}。\end{aligned} }$