设函数 z = z ( x , y ) 由方程 ^2+cos (xy)+yz+x=0确定的，则 ^2+cos (xy)+yz+x=0 ( ) ( A ) dx + dy( B ) - dx + dy ( C ) dx ( D ) dy

考查要点：本题主要考查隐函数求导及全微分的计算。需要掌握对隐函数求偏导的方法，并正确代入特定点进行计算。

解题核心思路：

1. 对原方程分别对$x$和$y$求偏导，解出$\dfrac{\partial z}{\partial x}$和$\dfrac{\partial z}{\partial y}$的表达式。
2. 代入点$(0,1)$处的坐标，结合原方程求出此时$z$的值。
3. 代入偏导数表达式，计算$\dfrac{\partial z}{\partial x}$和$\dfrac{\partial z}{\partial y}$的具体数值。
4. 组合全微分公式$dz = \dfrac{\partial z}{\partial x}dx + \dfrac{\partial z}{\partial y}dy$，得到最终结果。

破题关键点：

• 正确应用链式法则处理隐函数求导。
• 代入点时需先确定$z$的值，再代入偏导数表达式。

步骤1：对$x$求偏导

对原方程$x^2 + \cos(xy) + yz + x = 0$两边对$x$求偏导：
$2x - y\sin(xy) + y\dfrac{\partial z}{\partial x} + 1 = 0$
解得：
$\dfrac{\partial z}{\partial x} = \dfrac{y\sin(xy) - x}{1 + y}$

步骤2：对$y$求偏导

对原方程两边对$y$求偏导：
$-x\sin(xy) + z + y\dfrac{\partial z}{\partial y} + \dfrac{\partial z}{\partial y} = 0$
整理得：
$\dfrac{\partial z}{\partial y} = x\sin(xy) - z$

步骤3：代入点$(0,1)$

1. 求$z$的值：将$x=0$，$y=1$代入原方程：
   $0^2 + \cos(0 \cdot 1) + 1 \cdot z + 0 = 0 \implies 1 + z = 0 \implies z = -1$
2. 计算偏导数：
   • $\dfrac{\partial z}{\partial x}$：
     $\dfrac{1 \cdot \sin(0 \cdot 1) - 0}{1 + 1} = \dfrac{0}{2} = 0$
   • $\dfrac{\partial z}{\partial y}$：
     $0 \cdot \sin(0 \cdot 1) - (-1) = 0 + 1 = 1$

步骤4：组合全微分

$dz = \dfrac{\partial z}{\partial x}dx + \dfrac{\partial z}{\partial y}dy = 0 \cdot dx + 1 \cdot dy = dy$