不等式^2-2x-8leqslant 0的解集为 ____ ．

考查要点：本题主要考查二次不等式的解法，涉及因式分解、二次函数图像分析及区间解的确定。

解题核心思路：

1. 因式分解：将二次不等式转化为两个一次因式的乘积形式，便于确定根的位置。
2. 数轴分段：根据根将数轴分为区间，通过符号分析法判断每个区间内不等式是否成立。
3. 端点处理：注意不等式是否包含等号，确定解集是否包含根对应的端点。

破题关键点：

• 正确分解二次项：找到合适的因数对，确保分解后的乘积与原式一致。
• 区间符号判断：通过代入测试点快速确定各区间内的符号，避免复杂计算。

步骤1：因式分解
将不等式 $x^2 - 2x - 8 \leqslant 0$ 分解为：
$(x - 4)(x + 2) \leqslant 0$
验证分解正确性：展开 $(x - 4)(x + 2) = x^2 + 2x - 4x - 8 = x^2 - 2x - 8$，与原式一致。

步骤2：确定根与区间
方程 $(x - 4)(x + 2) = 0$ 的根为 $x = 4$ 和 $x = -2$，将数轴分为三个区间：

1. $x < -2$
2. $-2 < x < 4$
3. $x > 4$

步骤3：符号分析

• 区间 $x < -2$：取测试点 $x = -3$，代入得 $(-3 - 4)(-3 + 2) = (-7)(-1) = 7 > 0$，不满足不等式。
• 区间 $-2 < x < 4$：取测试点 $x = 0$，代入得 $(0 - 4)(0 + 2) = (-4)(2) = -8 < 0$，满足不等式。
• 区间 $x > 4$：取测试点 $x = 5$，代入得 $(5 - 4)(5 + 2) = (1)(7) = 7 > 0$，不满足不等式。

步骤4：确定解集

• 满足不等式的区间为 $-2 \leqslant x \leqslant 4$，且因不等式含等号，端点 $x = -2$ 和 $x = 4$ 均包含在解集中。