3.（10.0分）按给定的x的变化趋势，下列函数为无穷小量的是（）。A. (x^2)/(sqrt(x^4)-x+1)(xto+infty)B. (1+(1)/(x))^x-1(xtoinfty)C. 1-2^-x(x→0)D. (x)/(sin x)(x→0)

本题考查无穷小量的概念，解题思路是根据无穷小量的定义，分别分析每个选项在给定的$x$变化趋势下的极限是否为$0$。

选项A

当$x\to +\infty$时，求$\lim\limits_{x\to +\infty}\frac{x^{2}}{\sqrt{x^{4}-x + 1}}$的值。
为了便于计算极限，对原式分子分母同时除以$x^2$（因为$x\to +\infty$，$x^2>0$），得到：
$\lim\limits_{x\to +\infty}\frac{x^{2}}{\sqrt{x^{4}-x + 1}}=\lim\limits_{x\to +\infty}\frac{1}{\sqrt{1-\frac{1}{x^3}+\frac{1}{x^4}}}$
当$x\to +\infty$时，$\frac{1}{x^3}\to 0$，$\frac{1}{x^4}\to 0$，则：
$\lim\limits_{x\to +\infty}\frac{1}{\sqrt{1-\frac{1}{x^3}+\frac{1}{x^4}}}=\frac{1}{\sqrt{1 - 0 + 0}} = 1\neq 0$
所以当$x\to +\infty$时，$\frac{x^{2}}{\sqrt{x^{4}-x + 1}}$不是无穷小量。

选项B

当$x\to\infty$时，根据重要极限$\lim\limits_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^{x}=e$，则：
$\lim\limits_{x\to\infty}[(1+\frac{1}{x})^{x}-1]=\lim\limits_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^{x}-\lim\limits_{x\to\infty}1=e - 1\neq 0$
所以当$x\to\infty$时，$(1+\frac{1}{x})^{x}-1$不是无穷小量。

选项C

当$x\to 0$时，求$\lim\limits_{x\to 0}(1 - 2^{-x})$的值。
根据极限的四则运算法则$\lim\limits_{x\to a}(f(x)-g(x))=\lim\limits_{x\to a}f(x)-\lim\limits_{x\to a}g(x)$，可得：
$\lim\limits_{x\to 0}(1 - 2^{-x})=\lim\limits_{x\to 0}1-\lim\limits_{x\to 0}2^{-x}$
因为$\lim\limits_{x\to 0}1 = 1$，$\lim\limits_{x\to 0}2^{-x}=2^0 = 1$，所以：
$\lim\limits_{x\to 0}(1 - 2^{-x})=1 - 1 = 0$
所以当$x\to 0$时，$1 - 2^{-x}$是无穷小量。

选项D

当$x\to 0$时，根据重要极限$\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$，则：
$\lim\limits_{x\to 0}\frac{x}{\sin x}=\frac{1}{\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}}=\frac{1}{1}=1\neq 0$
所以当$x\to 0$时，$\frac{x}{\sin x}$不是无穷小量。