[题目]已知 _(1)(1,-1,2) 、M2(3,3,1)-|||-__ __-|||-和M3(3,1,3)。求与M1M2、M2 M3同时垂-|||-直的单位向量.

考查要点：本题主要考查空间向量的垂直条件、单位向量的求解方法，以及解线性方程组的能力。

解题核心思路：

1. 确定向量：首先计算向量$\overrightarrow{M_1M_2}$和$\overrightarrow{M_2M_3}$的坐标。
2. 垂直条件：设所求单位向量为$\overrightarrow{n}=(a,b,c)$，根据向量垂直的点积为零的条件，建立方程组。
3. 单位向量约束：结合$a^2 + b^2 + c^2 = 1$，解方程组得到参数关系，最终求出所有可能的解。

破题关键点：

• 正确计算向量坐标：注意向量的起点和终点坐标差。
• 联立方程组：通过点积为零的条件建立方程，消元简化方程组。
• 单位向量归一化：代入参数关系后，通过平方和为1求出参数的具体值。

1. 计算向量$\overrightarrow{M_1M_2}$和$\overrightarrow{M_2M_3}$：

   • $\overrightarrow{M_1M_2} = (3-1, 3-(-1), 1-2) = (2, 4, -1)$
   • $\overrightarrow{M_2M_3} = (3-3, 1-3, 3-1) = (0, -2, 2)$

2. 设单位向量$\overrightarrow{n}=(a,b,c)$：

   • 根据垂直条件，点积为零：
     $\begin{cases} 2a + 4b - c = 0 \\ -2b + 2c = 0 \end{cases}$
   • 从第二个方程得：$c = b$，代入第一个方程得：$2a + 3b = 0 \Rightarrow a = -\dfrac{3}{2}b$

3. 代入单位向量条件：

   • $a^2 + b^2 + c^2 = 1$，代入$a = -\dfrac{3}{2}b$和$c = b$：
     $\left(-\dfrac{3}{2}b\right)^2 + b^2 + b^2 = 1 \Rightarrow \dfrac{9}{4}b^2 + 2b^2 = 1 \Rightarrow \dfrac{17}{4}b^2 = 1 \Rightarrow b = \pm \dfrac{2\sqrt{17}}{17}$
   • 进一步求得：
     • 当$b = \dfrac{2\sqrt{17}}{17}$时，$a = -\dfrac{3\sqrt{17}}{17}$，$c = \dfrac{2\sqrt{17}}{17}$
     • 当$b = -\dfrac{2\sqrt{17}}{17}$时，$a = \dfrac{3\sqrt{17}}{17}$，$c = -\dfrac{2\sqrt{17}}{17}$