题目

4.函数f(x)=e^-x^(2)展开成x的幂级数为____

4.函数$f(x)=e^{-x^{2}}$展开成x的幂级数为____

题目解答

答案

为了将函数 $ f(x) = e^{-x^2} $ 展开成 $ x $ 的幂级数，我们可以利用已知的 $ e^t $ 的幂级数展开式，然后将 $ t $ 替换为 $ -x^2 $。 首先， recall $ e^t $ 的幂级数展开式: \[ e^t = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{t^n}{n!} \] 现在，将 $ t $ 替换为 $ -x^2 $: \[ e^{-x^2} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-x^2)^n}{n!} \] 接下来，我们简化 $ (-x^2)^n $: \[ (-x^2)^n = (-1)^n \cdot (x^2)^n = (-1)^n \cdot x^{2n} \] 将这个结果代回幂级数中，我们得到: \[ e^{-x^2} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n \cdot x^{2n}}{n!} \] 因此，函数 $ f(x) = e^{-x^2} $ 展开成 $ x $ 的幂级数为: \[ \boxed{\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{n!}} \]

解析

考查要点：本题主要考查将函数展开为幂级数的方法，特别是利用已知基本函数的幂级数展开式进行变量替换的能力。

解题核心思路：

  1. 利用已知展开式：已知$e^t$的幂级数展开式为$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{t^n}{n!}$，通过变量替换$t = -x^2$，直接代入即可得到$e^{-x^2}$的展开式。
  2. 简化表达式：替换后需对$(-x^2)^n$进行化简，明确符号和幂次的关系。
  3. 验证合理性：通过计算低阶导数验证展开式的正确性，确保替换过程无误。

破题关键点：

  • 变量替换的准确性：正确将$t = -x^2$代入原展开式。
  • 符号与幂次的处理：正确处理$(-x^2)^n$中的符号和幂次，避免符号错误。

  1. 写出$e^t$的幂级数展开式：
    根据泰勒级数公式，$e^t$的展开式为：
    $e^t = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{t^n}{n!}$

  2. 变量替换：
    将$t$替换为$-x^2$，得到：
    $e^{-x^2} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-x^2)^n}{n!}$

  3. 化简表达式：
    展开$(-x^2)^n$：
    $(-x^2)^n = (-1)^n \cdot x^{2n}$
    代入级数中，得到：
    $e^{-x^2} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{n!}$

  4. 验证合理性：

    • 当$n=0$时，项为$\frac{(-1)^0 x^{0}}{0!} = 1$，与$f(0)=1$一致。
    • 当$n=1$时，项为$\frac{(-1)^1 x^{2}}{1!} = -x^2$，与二阶导数计算结果一致。
      因此展开式正确。