积分 I_1 = int_(1)^2 ln x , dx 与 I_2 = int_(1)^2 ln^2 x , dx 的大小关系是().A. I_1 > I_2B. I_1 geq I_2C. I_1 D. I_1 leq I_2

本题考查定积分的性质以及函数大小比较的知识。解题的关键思路是通过比较被积函数在给定区间上的大小关系，再利用定积分的保序性来判断两个定积分的大小。

步骤一：分析被积函数在区间$[1, 2]$上的大小关系

设$f(x)=\ln x$，$g(x)=\ln^{2}x$，考虑$f(x)-g(x)=\ln x - \ln^{2}x=\ln x(1 - \ln x)$。
令$t = \ln x$，当$x\in[1, 2]$时，因为对数函数$y = \ln x$在$(0,+\infty)$上单调递增，所以$\ln 1\leqslant\ln x\leqslant\ln 2$，即$0\leqslant t\leqslant\ln 2$。
此时$f(x)-g(x)=t(1 - t)$，对于二次函数$y=t(1 - t)=-t^{2}+t$，其二次项系数$a=-1\lt0$，图象开口向下，对称轴为$t =-\frac{b}{2a}=-\frac{1}{2\times(-1)}=\frac{1}{2}$。
在区间$[0,\ln 2]$上，$y=t(1 - t)\geqslant0$（当且仅当$t = 0$或$t = 1$时取等号），而在区间$(1, 2)$上，$0\lt\ln x\lt\ln 2\lt1$，所以$\ln x(1 - \ln x)\gt0$，即$\ln x\gt\ln^{2}x$，$x\in(1, 2)$。

步骤二：利用定积分的保序性判断$I_1$与$I_2$的大小

定积分的保序性为：若在区间$[a, b]$上，$f(x)\geqslant g(x)$，且$f(x)$与$g(x)$不恒等，则$\int_{a}^{b}f(x)dx\gt\int_{a}^{b}g(x)dx$。
因为在区间$(1, 2)$上$\ln x\gt\ln^{2}x$，所以$\int_{1}^{2}\ln xdx\gt\int_{1}^{2}\ln^{2}xdx$，即$I_1\gt I_2$。