[例15]设f(x)连续可导,且 lim _(xarrow 0)([ 1+x+dfrac {f(x))(x)] }^dfrac (1{x)}=(e)^3, 求f(0),f`(0), ''(0)-|||-lim _(xarrow 0)([ 1+dfrac {f(x))(x)] }^dfrac (1{x)}

考查要点：本题主要考查极限的运算、泰勒展开的应用以及对数恒等式的转换技巧。关键在于将指数极限转化为多项式展开，结合等价无穷小替换进行求解。

解题思路：

1. 对数转换：将原极限取自然对数，转化为多项式展开问题。
2. 泰勒展开：假设$f(x)$在$x=0$处展开，通过分析展开式中的低阶项确定$f(0)$、$f'(0)$、$f''(0)$。
3. 等价无穷小：利用$\ln(1+\epsilon) \approx \epsilon$（当$\epsilon \to 0$）简化计算。
4. 二次极限：利用已求得的$f(x)$展开式，再次应用对数转换和泰勒展开求解第二个极限。

求$f(0)$、$f'(0)$、$f''(0)$

步骤1：对数转换

原极限为：
$\lim_{x \to 0} \left[1 + x + \frac{f(x)}{x} \right]^{\frac{1}{x}} = e^3$
取自然对数得：
$\lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \ln\left(1 + x + \frac{f(x)}{x}\right) = 3$

步骤2：泰勒展开分析

设$f(x)$在$x=0$处展开：
$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{1}{2}f''(0)x^2 + o(x^2)$
代入$\frac{f(x)}{x}$得：
$\frac{f(x)}{x} = \frac{f(0)}{x} + f'(0) + \frac{1}{2}f''(0)x + o(x)$
为使$x + \frac{f(x)}{x}$在$x \to 0$时趋向有限值，需$f(0) = 0$，否则$\frac{f(0)}{x}$趋向无穷大。

步骤3：确定$f'(0)$与$f''(0)$

令$f(0) = 0$，则：
$x + \frac{f(x)}{x} = x + f'(0) + \frac{1}{2}f''(0)x + o(x)$
为使$x + f'(0) \to 0$，需$f'(0) = 0$。此时：
$x + \frac{f(x)}{x} = \left(1 + \frac{1}{2}f''(0)\right)x + o(x)$
代入对数展开：
$\ln\left(1 + \left(1 + \frac{1}{2}f''(0)\right)x\right) \approx \left(1 + \frac{1}{2}f''(0)\right)x$
因此：
$\lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \cdot \left(1 + \frac{1}{2}f''(0)\right)x = 1 + \frac{1}{2}f''(0) = 3 \implies f''(0) = 4$

求$\lim_{x \to 0} \left[1 + \frac{f(x)}{x}\right]^{\frac{1}{x}}$

步骤1：代入$f(x)$展开式

由$f(x) = 2x^2 + o(x^2)$，得：
$\frac{f(x)}{x} = 2x + o(x)$
因此：
$1 + \frac{f(x)}{x} = 1 + 2x + o(x)$

步骤2：对数转换与极限计算

取自然对数：
$\lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \ln(1 + 2x + o(x)) \approx \lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \cdot 2x = 2$
故原极限为：
$e^2$