函数 f(x) = (x + |x|)^2 的一个原函数为A. (4)/(3)x^3B. (2)/(3)x^2(x + |x|)C. (4)/(3)x^2|x|D. (2)/(3)x(x^2 + |x|^2)

本题考查原函数的概念，解题思路是先根据绝对值的性质对函数$f(x)=(x + |x|)^2$进行分段讨论，然后分别求出各段的原函数，最后验证选项。

步骤一：对函数$f(x)$进行分段讨论

已知$f(x)=(x + |x|)^2$，根据绝对值的定义，当$x\geq0$时，$\vert x\vert = x$，则$f(x)=(x + x)^2=(2x)^2 = 4x^2$；当$x\lt0$时，$\vert x\vert = -x$，则$f(x)=(x - x)^2 = 0$。
所以$f(x)=\begin{cases}4x^2, & x\geq0 \\ 0, & x\lt0\end{cases}$。

步骤二：分别求各段的原函数

• 当$x\geq0$时，对$f(x)=4x^2$求原函数，根据求导公式$(x^n)^\prime=nx^{n - 1}$，设原函数为$F(x)$，则$F(x)=\int 4x^2dx$，由积分公式$\int x^n dx=\frac{1}{n + 1}x^{n + 1}+C$（$n\neq -1$）可得：
  $F(x)=4\times\frac{1}{2 + 1}x^{2 + 1}+C_1=\frac{4}{3}x^3+C_1$。
• 当$x\lt0$时，对$f(x)=0$求原函数，可得$F(x)=\int 0dx = C_2$。

步骤三：验证选项

因为原函数在$x = 0$处连续，所以$\lim\limits_{x\to0^+}F(x)=\lim\limits_{x\to0^-}F(x)$，即$\frac{4}{3}\times0^3+C_1 = C_2$，不妨令$C_1 = C_2 = 0$，则$F(x)=\begin{cases}\frac{4}{3}x^3, & x\geq0 \\ 0, & x\lt0\end{cases}$。
对选项B：$F(x)=\frac{2}{3}x^2(x + |x|)$进行分析：

• 当$x\geq0$时，$F(x)=\frac{2}{3}x^2(x + x)=\frac{2}{3}x^2\times2x=\frac{4}{3}x^3$。
• 对$F(x)=\frac{4}{3}x^3$求导，根据求导公式$(x^n)^\prime=nx^{n - 1}$可得$F^\prime(x)=\frac{4}{3}\times3x^{3 - 1}=4x^2$，与$f(x)$在$x\geq0$时的表达式一致。
• 当$x\lt0$时，$F(x)=\frac{2}{3}x^2(x - x)=0$。
  对$F(x)=0$求导，可得$F^\prime(x)=0$，与$f(x)$在$x\lt0$时的表达式一致。

所以$\frac{2}{3}x^2(x + |x|)$是$f(x)=(x + |x|)^2$的一个原函数。