题目
4.[判断题]设lambda_(0)是n阶矩阵A的一个特征值，若r(lambda_(0)E-A)=n-1，则A的属于lambda_(0)的特征向量只有一个A 对B 错A. 对B. 错
4.[判断题]
设$\lambda_{0}$是n阶矩阵A的一个特征值，若$r(\lambda_{0}E-A)=n-1$，则A的属于$\lambda_{0}$的特征向量只有一个
A 对
B 错
A. 对
B. 错
题目解答
答案
A. 对
解析
步骤 1：理解特征值和特征向量的定义
特征值 $\lambda_0$ 是使得矩阵 $A$ 减去 $\lambda_0$ 倍单位矩阵 $E$ 的秩小于 $n$ 的值，即 $r(\lambda_0 E - A) < n$。特征向量是与特征值 $\lambda_0$ 相关的非零向量 $v$，满足 $Av = \lambda_0 v$。
步骤 2：应用秩-零度定理
秩-零度定理指出，对于一个 $n$ 阶矩阵 $B$，其秩 $r(B)$ 和零空间的维数（即核的维数）之和等于 $n$。因此，如果 $r(\lambda_0 E - A) = n - 1$，则零空间的维数为 $1$。
步骤 3：解释特征向量的唯一性
零空间的维数为 $1$ 意味着属于 $\lambda_0$ 的线性无关特征向量只有一个。然而，特征向量本身有无穷多个，因为任何非零标量倍数的特征向量仍然是特征向量。题目中的“只有一个特征向量”应理解为“只有一个线性无关的特征向量”。
特征值 $\lambda_0$ 是使得矩阵 $A$ 减去 $\lambda_0$ 倍单位矩阵 $E$ 的秩小于 $n$ 的值，即 $r(\lambda_0 E - A) < n$。特征向量是与特征值 $\lambda_0$ 相关的非零向量 $v$，满足 $Av = \lambda_0 v$。
步骤 2：应用秩-零度定理
秩-零度定理指出，对于一个 $n$ 阶矩阵 $B$，其秩 $r(B)$ 和零空间的维数（即核的维数）之和等于 $n$。因此，如果 $r(\lambda_0 E - A) = n - 1$，则零空间的维数为 $1$。
步骤 3：解释特征向量的唯一性
零空间的维数为 $1$ 意味着属于 $\lambda_0$ 的线性无关特征向量只有一个。然而，特征向量本身有无穷多个，因为任何非零标量倍数的特征向量仍然是特征向量。题目中的“只有一个特征向量”应理解为“只有一个线性无关的特征向量”。