题目
2.设随机变量(X,Y)的联合概率密度为-|||-f(x,y)= ) 2, 0lt xlt ylt 1 0, .-|||-(1)求(X,Y)的边缘概率密度fx(x);-|||-(2)当 lt xlt 1 时,求在 X=x 的条件下,Y的条件概率密度fy|x(y|x);-|||-(3)求随机变量 Z=Y-X 的概率密度f2(z).
题目解答
答案
解析
步骤 1：求边缘概率密度 $f_x(x)$
边缘概率密度 $f_x(x)$ 是通过将联合概率密度 $f(x,y)$ 在 $y$ 上积分得到的。由于 $f(x,y)$ 在 $0 < x < y < 1$ 的范围内为 $2$，在其他范围内为 $0$，因此 $f_x(x)$ 可以通过积分 $f(x,y)$ 在 $y$ 上从 $x$ 到 $1$ 的范围来计算。
$$
f_x(x) = \int_{x}^{1} f(x,y) \, dy = \int_{x}^{1} 2 \, dy = 2(1 - x)
$$
步骤 2：求条件概率密度 $f_{Y|X}(y|x)$
条件概率密度 $f_{Y|X}(y|x)$ 是通过将联合概率密度 $f(x,y)$ 除以边缘概率密度 $f_x(x)$ 得到的。由于 $f_x(x) = 2(1 - x)$，因此
$$
f_{Y|X}(y|x) = \frac{f(x,y)}{f_x(x)} = \frac{2}{2(1 - x)} = \frac{1}{1 - x}
$$
步骤 3：求随机变量 $Z = Y - X$ 的概率密度 $f_2(z)$
随机变量 $Z = Y - X$ 的概率密度 $f_2(z)$ 可以通过计算 $P(Z \leq z)$ 来得到。由于 $0 < x < y < 1$，因此 $0 < z < 1$。当 $0 \leq z < 1$ 时，$P(Z \leq z)$ 可以通过积分 $f(x,y)$ 在 $y$ 上从 $x$ 到 $x + z$ 的范围来计算。
$$
F_2(z) = P(Z \leq z) = \int_{0}^{1-z} \int_{x}^{x+z} f(x,y) \, dy \, dx = \int_{0}^{1-z} \int_{x}^{x+z} 2 \, dy \, dx = \int_{0}^{1-z} 2z \, dx = 2z(1 - z)
$$
因此，$f_2(z)$ 是 $F_2(z)$ 的导数。
$$
f_2(z) = \frac{d}{dz} F_2(z) = \frac{d}{dz} 2z(1 - z) = 2(1 - 2z)
$$
边缘概率密度 $f_x(x)$ 是通过将联合概率密度 $f(x,y)$ 在 $y$ 上积分得到的。由于 $f(x,y)$ 在 $0 < x < y < 1$ 的范围内为 $2$，在其他范围内为 $0$，因此 $f_x(x)$ 可以通过积分 $f(x,y)$ 在 $y$ 上从 $x$ 到 $1$ 的范围来计算。
$$
f_x(x) = \int_{x}^{1} f(x,y) \, dy = \int_{x}^{1} 2 \, dy = 2(1 - x)
$$
步骤 2：求条件概率密度 $f_{Y|X}(y|x)$
条件概率密度 $f_{Y|X}(y|x)$ 是通过将联合概率密度 $f(x,y)$ 除以边缘概率密度 $f_x(x)$ 得到的。由于 $f_x(x) = 2(1 - x)$，因此
$$
f_{Y|X}(y|x) = \frac{f(x,y)}{f_x(x)} = \frac{2}{2(1 - x)} = \frac{1}{1 - x}
$$
步骤 3：求随机变量 $Z = Y - X$ 的概率密度 $f_2(z)$
随机变量 $Z = Y - X$ 的概率密度 $f_2(z)$ 可以通过计算 $P(Z \leq z)$ 来得到。由于 $0 < x < y < 1$，因此 $0 < z < 1$。当 $0 \leq z < 1$ 时，$P(Z \leq z)$ 可以通过积分 $f(x,y)$ 在 $y$ 上从 $x$ 到 $x + z$ 的范围来计算。
$$
F_2(z) = P(Z \leq z) = \int_{0}^{1-z} \int_{x}^{x+z} f(x,y) \, dy \, dx = \int_{0}^{1-z} \int_{x}^{x+z} 2 \, dy \, dx = \int_{0}^{1-z} 2z \, dx = 2z(1 - z)
$$
因此，$f_2(z)$ 是 $F_2(z)$ 的导数。
$$
f_2(z) = \frac{d}{dz} F_2(z) = \frac{d}{dz} 2z(1 - z) = 2(1 - 2z)
$$