题目
已知函数f（x）=x3-x，g（x）=x2+a，曲线y=f（x）在点（x1，f（x1））处的切线也是曲线y=g（x）的切线．（1）若x1=-1，求a；（2）求a的取值范围．
已知函数f（x）=x3-x，g（x）=x2+a，曲线y=f（x）在点（x1，f（x1））处的切线也是曲线y=g（x）的切线．
（1）若x1=-1，求a；
（2）求a的取值范围．
（1）若x1=-1，求a；
（2）求a的取值范围．
题目解答
答案
解：（1）由题意可得f'（x）=3x2-1，
则切线的斜率k=f'（-1）=2，
且f（-1）=0，故切线方程为y=2（x+1），即2x-y+2=0，
由g'（x）=2x=2可得x=1，则切点坐标为（1，1+a），
由于切点在直线2x-y+2=0上，故2-（1+a）+2=0，解得a=3．
（2）∵f'（x）=3x2-1，f（x）=x3-x，
∴曲线y=f（x）在点（x1，f（x1））处的切线为y-（${x}_{1}^{3}-{x}_{1}$）=$（3{x}_{1}^{2}-1）（x-{x}_{1}）$，即y=$（3{x}_{1}^{2}-1）x-2{x}_{1}^{3}$，
∵g（x）=x2+a，g'（x）=2x，
∴y=g（x）在点（x2，f（x2））处的切线方程为$y-（{x}_{2}^{2}+a）=2{x}_{2}（x-{x}_{2}）$，即y=$2{x}_{2}x-{x}_{2}^{2}+a$，
∵曲线y=f（x）在点（x1，f（x1））处的切线也是曲线y=g（x）的切线，
∴$3{x}_{1}^{2}-1=2$x2，$-2{x}_{1}^{3}=-{x}_{2}^{2}+a$，联立两式可得，$a={x}_{2}^{2}-2{x}_{1}^{3}$=$\frac{1}{4}（9{x}_{1}^{4}-8{x}_{1}^{3}-6{x}_{1}^{2}+1）$，
令h（x）=9x4-8x3-6x2+1，
则h'（x）=36x3-24x2-12x=12x（3x+1）（x-1），
当x∈（-∞，-$\frac{1}{3}$）时，h'（x）＞0，h（x）单调递增，
当x∈（0，1）时，h'（x）＜0，h（x）单调递减，
当x∈（1，+∞）时，h'（x）＞0，h（x）单调递增，
故h（x）的极小值为$h（-\frac{1}{3}）=\frac{19}{27}$和h（1）=-4，
故h（x）的值域为[-4，+∞），
故a的取值范围[-1，+∞）．
则切线的斜率k=f'（-1）=2，
且f（-1）=0，故切线方程为y=2（x+1），即2x-y+2=0，
由g'（x）=2x=2可得x=1，则切点坐标为（1，1+a），
由于切点在直线2x-y+2=0上，故2-（1+a）+2=0，解得a=3．
（2）∵f'（x）=3x2-1，f（x）=x3-x，
∴曲线y=f（x）在点（x1，f（x1））处的切线为y-（${x}_{1}^{3}-{x}_{1}$）=$（3{x}_{1}^{2}-1）（x-{x}_{1}）$，即y=$（3{x}_{1}^{2}-1）x-2{x}_{1}^{3}$，
∵g（x）=x2+a，g'（x）=2x，
∴y=g（x）在点（x2，f（x2））处的切线方程为$y-（{x}_{2}^{2}+a）=2{x}_{2}（x-{x}_{2}）$，即y=$2{x}_{2}x-{x}_{2}^{2}+a$，
∵曲线y=f（x）在点（x1，f（x1））处的切线也是曲线y=g（x）的切线，
∴$3{x}_{1}^{2}-1=2$x2，$-2{x}_{1}^{3}=-{x}_{2}^{2}+a$，联立两式可得，$a={x}_{2}^{2}-2{x}_{1}^{3}$=$\frac{1}{4}（9{x}_{1}^{4}-8{x}_{1}^{3}-6{x}_{1}^{2}+1）$，
令h（x）=9x4-8x3-6x2+1，
则h'（x）=36x3-24x2-12x=12x（3x+1）（x-1），
当x∈（-∞，-$\frac{1}{3}$）时，h'（x）＞0，h（x）单调递增，
当x∈（0，1）时，h'（x）＜0，h（x）单调递减，
当x∈（1，+∞）时，h'（x）＞0，h（x）单调递增，
故h（x）的极小值为$h（-\frac{1}{3}）=\frac{19}{27}$和h（1）=-4，
故h（x）的值域为[-4，+∞），
故a的取值范围[-1，+∞）．
解析
步骤 1：求f(x)在x_1=-1处的切线方程
首先，计算f(x)在x_1=-1处的导数f'(x)。f'(x)=3x^2-1，所以f'(-1)=3(-1)^2-1=2。因此，f(x)在x_1=-1处的切线斜率为2。由于f(-1)=(-1)^3-(-1)=0，所以切线方程为y=2(x+1)。
步骤 2：求g(x)在x_2处的切线方程
g(x)的导数g'(x)=2x。设g(x)在x_2处的切线斜率等于f(x)在x_1=-1处的切线斜率，即2x_2=2，解得x_2=1。因此，g(x)在x_2=1处的切线方程为y=2(x-1)+g(1)=2x-1+a。
步骤 3：求a的值
由于f(x)在x_1=-1处的切线方程为y=2(x+1)，g(x)在x_2=1处的切线方程为y=2x-1+a，且这两条切线是同一条线，所以-1+a=2，解得a=3。
步骤 4：求a的取值范围
由f'(x)=3x^2-1，g'(x)=2x，设f(x)在x_1处的切线斜率等于g(x)在x_2处的切线斜率，即3x_1^2-1=2x_2。由f(x)在x_1处的切线方程为y=(3x_1^2-1)(x-x_1)+f(x_1)，g(x)在x_2处的切线方程为y=2x_2(x-x_2)+g(x_2)，且这两条切线是同一条线，所以-2x_1^3=-x_2^2+a，联立两式可得a=x_2^2-2x_1^3。将3x_1^2-1=2x_2代入a=x_2^2-2x_1^3，得a=1/4(9x_1^4-8x_1^3-6x_1^2+1)。令h(x)=9x^4-8x^3-6x^2+1，求h(x)的极值，得h(x)的极小值为h(-1/3)=19/27和h(1)=-4，所以h(x)的值域为[-4,+∞)，因此a的取值范围为[-1,+∞)。
首先，计算f(x)在x_1=-1处的导数f'(x)。f'(x)=3x^2-1，所以f'(-1)=3(-1)^2-1=2。因此，f(x)在x_1=-1处的切线斜率为2。由于f(-1)=(-1)^3-(-1)=0，所以切线方程为y=2(x+1)。
步骤 2：求g(x)在x_2处的切线方程
g(x)的导数g'(x)=2x。设g(x)在x_2处的切线斜率等于f(x)在x_1=-1处的切线斜率，即2x_2=2，解得x_2=1。因此，g(x)在x_2=1处的切线方程为y=2(x-1)+g(1)=2x-1+a。
步骤 3：求a的值
由于f(x)在x_1=-1处的切线方程为y=2(x+1)，g(x)在x_2=1处的切线方程为y=2x-1+a，且这两条切线是同一条线，所以-1+a=2，解得a=3。
步骤 4：求a的取值范围
由f'(x)=3x^2-1，g'(x)=2x，设f(x)在x_1处的切线斜率等于g(x)在x_2处的切线斜率，即3x_1^2-1=2x_2。由f(x)在x_1处的切线方程为y=(3x_1^2-1)(x-x_1)+f(x_1)，g(x)在x_2处的切线方程为y=2x_2(x-x_2)+g(x_2)，且这两条切线是同一条线，所以-2x_1^3=-x_2^2+a，联立两式可得a=x_2^2-2x_1^3。将3x_1^2-1=2x_2代入a=x_2^2-2x_1^3，得a=1/4(9x_1^4-8x_1^3-6x_1^2+1)。令h(x)=9x^4-8x^3-6x^2+1，求h(x)的极值，得h(x)的极小值为h(-1/3)=19/27和h(1)=-4，所以h(x)的值域为[-4,+∞)，因此a的取值范围为[-1,+∞)。