题目
球面 x^2 + y^2 + z^2 = 2 被平面 z=1 截得的较小部分的面积为____.A. (4-2sqrt(2))piB. 4sqrt(2)piC. (4+2sqrt(2))piD. 2sqrt(2)pi
球面 $x^2 + y^2 + z^2 = 2$ 被平面 $z=1$ 截得的较小部分的面积为____.
A. $(4-2\sqrt{2})\pi$
B. $4\sqrt{2}\pi$
C. $(4+2\sqrt{2})\pi$
D. $2\sqrt{2}\pi$
题目解答
答案
A. $(4-2\sqrt{2})\pi$
解析
步骤 1：确定交线
将平面 $z=1$ 代入球面方程 $x^2 + y^2 + z^2 = 2$，得交线 $x^2 + y^2 = 1$。这表示球面与平面的交线是一个半径为1的圆。
步骤 2：计算曲面面积元素
球面方程为 $z = \sqrt{2 - x^2 - y^2}$，求导得 \[ z_x = -\frac{x}{\sqrt{2 - x^2 - y^2}}, \quad z_y = -\frac{y}{\sqrt{2 - x^2 - y^2}}. \] 曲面面积元素 \[ dS = \sqrt{1 + (z_x)^2 + (z_y)^2} \, dxdy = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2 - x^2 - y^2}} \, dxdy. \]
步骤 3：计算曲面面积
在区域 $D: x^2 + y^2 \leq 1$ 上积分，转换为极坐标 \[ S = \int_0^{2\pi} \int_0^1 \frac{\sqrt{2} r}{\sqrt{2 - r^2}} \, dr \, d\theta. \] 令 $u = 2 - r^2$，则 \[ \int_0^1 \frac{\sqrt{2} r}{\sqrt{2 - r^2}} \, dr = \sqrt{2}(\sqrt{2} - 1) = 2 - \sqrt{2}. \] 对 $\theta$ 积分得 \[ S = (2 - \sqrt{2}) \cdot 2\pi = (4 - 2\sqrt{2})\pi. \]
将平面 $z=1$ 代入球面方程 $x^2 + y^2 + z^2 = 2$，得交线 $x^2 + y^2 = 1$。这表示球面与平面的交线是一个半径为1的圆。
步骤 2：计算曲面面积元素
球面方程为 $z = \sqrt{2 - x^2 - y^2}$，求导得 \[ z_x = -\frac{x}{\sqrt{2 - x^2 - y^2}}, \quad z_y = -\frac{y}{\sqrt{2 - x^2 - y^2}}. \] 曲面面积元素 \[ dS = \sqrt{1 + (z_x)^2 + (z_y)^2} \, dxdy = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2 - x^2 - y^2}} \, dxdy. \]
步骤 3：计算曲面面积
在区域 $D: x^2 + y^2 \leq 1$ 上积分，转换为极坐标 \[ S = \int_0^{2\pi} \int_0^1 \frac{\sqrt{2} r}{\sqrt{2 - r^2}} \, dr \, d\theta. \] 令 $u = 2 - r^2$，则 \[ \int_0^1 \frac{\sqrt{2} r}{\sqrt{2 - r^2}} \, dr = \sqrt{2}(\sqrt{2} - 1) = 2 - \sqrt{2}. \] 对 $\theta$ 积分得 \[ S = (2 - \sqrt{2}) \cdot 2\pi = (4 - 2\sqrt{2})\pi. \]