【题目】设 f'(arctanx)=x^2 ,求f(x).

考查要点：本题主要考查复合函数的导数概念及变量替换法在积分中的应用。关键在于通过变量替换将已知条件转化为关于新变量的积分问题。

解题思路：

1. 变量替换：令$t = \arctan x$，将原式中的$x$用$\tan t$表示，从而将$f'(\arctan x)$转化为$f'(t)$。
2. 积分求原函数：对$f'(t) = \tan^2 t$进行积分，利用三角恒等式$\tan^2 t = \sec^2 t - 1$简化积分过程。
3. 回代变量：将积分结果中的变量$t$替换回$x$，得到最终表达式。

破题关键：正确选择变量替换并灵活运用三角恒等式是解题的核心。

步骤1：变量替换
令$t = \arctan x$，则$x = \tan t$，原式$f'(\arctan x) = x^2$可转化为：
$f'(t) = (\tan t)^2 = \tan^2 t.$

步骤2：积分求原函数
对$f'(t) = \tan^2 t$积分：
$\begin{aligned}f(t) &= \int \tan^2 t \, dt \\&= \int (\sec^2 t - 1) \, dt \quad \text{（利用$\tan^2 t = \sec^2 t - 1$）} \\&= \int \sec^2 t \, dt - \int 1 \, dt \\&= \tan t - t + C.\end{aligned}$

步骤3：回代变量
将$t = \arctan x$代入，得：
$f(x) = \tan x - x + C.$